逆向き計算を援用した数値変化追跡（２） コラッツの計算で、step数が70 前後とstepの長い数がありました。 X≦60 の範囲では X＝27，31，41，47，55 です。 それらのX値は、コラッツの計算でpeak値がいずれも 4616 となります。 そこで、1をスタートの数とし…

逆向き計算を援用した数値変化追跡（１） ここからは、コラッツの計算を逆向きにたどることにより見えてくる数の 構造とそのグループ化、そして双方向の計算の関係について調べていき ます。 コラッツの計算は任意の数Xからスタートし、最終的に１に向かって…

コラッツ計算図による発散の有無調査 これからコラッツの計算で１へ収束するかどうかの確認作業に入ります。 まず、コラッツ予想－２～５で見てきた図に関して、収束、循環、および 発散可能性について調査を進めます。 －２～５において、数Xが奇数のとき、…

コラッツの計算で現れる数値関係（２） ２進法計算による数値パターン ここでは奇数→奇数のフローに入る数のグループはどのようなものか ２進法による計算を行い、調査を進めます。 奇数値Xを２進法で表すことにより、奇数処理の連続step数を知ること ができ…

コラッツの計算で現れる数値関係（１） ここから発散の有無について見ていかなければなりませんが、その前に コラッツの計算で現れてくるいろいろな数の関係をしばらく見ていくことで、 その精妙さと奥深さを味わってみたいと思います。 コラッツの計算によ…

循環パターンの調査（補足） コラッツの計算においては循環パターンが発生することはないとの前回の 判定を支持する結果となるかどうか、n,m のいくつかの値について交点の X値を計算してみました。 このように、数値計算結果では正と負の値の間に挟まれる奇…

循環パターンの調査（係数３の３） ここで、連続奇数処理step数をｎ、連続偶数処理step数をｍとして、 ｎとｍをパラメータとして、交点のX値を求めます。 まず、交点のX値を求める式はつぎのようになります。 この式から交点のX値が正の整数で且つ奇数である…

循環パターンの調査（係数５と３比較） ここまでの計算結果を見やすくするために係数５と３を表にまとめました。 表の数値は、前回までに見てきた係数５と係数３について、交点の計算 式の左辺を整数Xについて計算した値です。 係数５について 表中、太線で…

循環パターンの調査（係数３の２） 前回計算結果の例を直線の交点として図に表してみます。直線Xと交差 する直線との交点位置を示す線を数値欄に引いています。 以上の計算結果を表にまとめました。 コラッツの計算である係数３の場合は、左辺の式から算出さ…

昨日の内容で、偶数３stepの計算 奇数連続２偶数2→奇数1偶数1 が 誤っていました。 お詫びして訂正します。 奇数処理と偶数処理のstep数がそれぞれ同じならば、直線の傾きは変わり ませんが、奇数処理３step偶数処理２stepと、奇数処理３step偶数処理 ３step…

循環パターンの調査（係数３の１） ここから、係数３について調べていきます。 つぎの図は奇数値処理１回で偶数が現れる場合を表しています。 この図は奇数値計算１stepと偶数値計算１stepの関係を表しています。 図において太線がコラッツの計算による数値…

循環パターンの調査（係数５の２） 今回も前回の係数５の計算式について見ていきます。 計算式の途中から得られる２本の直線の交点を図に表し、交点のX値を 求めます。 下図において、奇数処理３stepと偶数処理４stepの組合せで２本の直線を 引き、その交点…

ここまで、コラッツの計算の位置づけと期待値計算による１への収束の有無 を見てきました。 しかし、循環パターンと発散パターン発生有無について、 どちらもまだ見極めることができていません。 そこで今度は循環パターンについて、係数５の計算と比較しな…

期待値計算による１への収束の調査（２） ここでは前回の計算フローにしたがって期待値の計算をしていきます。 期待値①は、step１の計算結果にstep１で奇数が発生する確率を 掛けたものになるから、奇数発生確率を 1/2 として次のようになります。 つぎに期…

期待値計算による１への収束の調査（１） 奇数値計算の全step にわたってコラッツの計算式から得られる計算結果の 期待値が、スタート時の整数Xに比べて大きいか小さいか、それとも等しいか を調査します。 計算結果の期待値がスタート時のXより大きければ発…

係数の違いでわかること ここまで奇数Xの計算に係数１，３，５ の違いを見てきました。 これら３つの 計算式に何か関係がないか調べてみます。 以上の関係が見られました。 ３つの式の間に 式A が挟まることで計算値の 動きに大きな変化が現れます。 係数３…

係数１、係数５の計算図 ここではコラッツの計算と同様に 係数１、係数５の計算結果を図に表して みます。 まず、係数１の計算結果から奇数値の計算結果を表示します。 全ての奇数値が１に向かって収束していきます。 その動きから、奇数の中にも奇数処理後…

係数１、係数3、係数5 の計算 コラッツ予想は、Xが奇数なら （3X+1）/2、偶数なら X/2 の計算を繰り返す 操作を行ないますが、それを挟んで、つぎのような計算を行なうことにより、この 予想の位置づけを俯瞰してみます。 ① 係数１ 整数Xが奇数なら （X+1）/…

コラッツ計算図 前回の図で太線で表しているのは、X=17 の計算値の動きです。17 の場合 は１に到達するまでに３回のループを経由しています。これは計算の途中に 奇数が３回現れたことを表しています。そのループはいずれも奇数計算１回で 偶数値になる単順…

スタート時の計算対象を奇数とする理由 前回の計算要領②については、つぎのような理由により決めました。 コラッツの計算を基本小さい数から順次行なっていくとしたとき、全ての偶数 は 1step 以上の偶数処理の結果、すでに計算されている当該偶数より小さい…

コラッツ予想について 一昨年、コラッツ予想について懸賞金がかけられたとのニュースが流れ ました。 ------------------------------------------------------------ 「どんな正の整数も、偶数なら2で割り、奇数なら3倍して1を 足す。この操作を繰り返せば…

閑話休題（６） ここまで、オイラーの素晴らしい贈り物 「オイラーの公式」 を頼りに、 数に関わるいろいろな試みを行ってきました。 つくづく思うのは、真偽を超えて数の世界のｅと物理の世界のｃとの 類似性です。ｅは自然対数の底、ｃは光速です。 ｅに対…

素数個数とｌｏｇの世界 そもそも素数個数とｅの指数との間にはどのような関係があるのでしょうか。 もう少し探ってみます。 ｌｏｇXは直交座標系のXをｅの指数の値に変換した値なので、ｌｏｇXの式と、 私がこだわっている素数個数の式との間にどのような関…

素数の解析にオイラーの公式を利用する（２） ここでは、前回の計算をつぎの要領で行います。 以下の範囲で計算してみます。 整数Ｘ ２≦Ｘ≦１０２ 素数ｎ ２≦ｎ≦Ｘ ここでは分母のｎ値を全ての整数ではなく、X以下の全ての素数としま した。 X以下の全素数が…

素数の解析にオイラーの公式を利用する（１） 前回の関係はつぎのように、ｅ の指数の場に素数個数を閉じ込める ことができることも示しているようです。 ここで、X値を正の整数、ｎ値をX以下の素数としてｅの指数を含めて 計算することにより、素数の判定お…

素数とｅの指数の場（４） ここからは素数および素数個数の扱いをｅの指数の場に移していく作業 に取り組んでいきます。 まず、数の風景－６４～６６で見てきた素数個数比率ξと、素数個数を 求めるプロセスとの整合性を図ります。 このように、分割数ｎを ｎ…

素数とｅの指数の場（３） 前回、素数は「１＜ｎ＜Xの整数ｎで割り切れるｎが０個の整数X」である ことを考えましたが、オイラーの公式に用いたＲ－ｉ座標をイメージして それを模式図に表せばつぎのようになるでしょうか。 例としてX＝１～１１について表し…

素数とｅの指数の場（２） 前回、直交座標とｅの指数の場の関係を表にしましたが、問題ないか 素数が含まれる実数の世界について数値計算により確かめてみます。 特に問題ないようです。 ところで素数は実数のうち正の整数の世界にあるので、虚数や小数の 世…

素数とｅの指数の場（１） しばらく休止して素数について考えていましたが、ここまでの思考実験 の過程を記述してみます。 ここからは、場の設定や計算手法など、いささか荒っぽい飛躍も含まれ ています。 それも一つの試みと受けとめていただければと思いま…