一般の高次式の解法を特別な形の高次式に適用（２） 今回は、数の風景－９２で対象にした高次式について計算して みます。 数の風景－９２で扱った式のうち、つぎの２つについて一般の 高次式に適用した方法で再度計算してみます。 ここでは理解を深めるため…

一般の高次式の解法を特別な形の高次式に適用（１） 一般の高次方程式に用いた解法を、数の風景－９０で対象にした 係数および定数項がすべて１の高次方程式に用いたらどうなるか ここで確かめてみます。 数の風景－９７でおこなったのと同じ方法で、それぞ…

高次方程式の零点を作る（２） 前回、定数項を変更する方法で零点を作ることができました。 今回は前々回の７次方程式で、θ＝12π／20付近での零点 探査結果をもとに、虚数ｉの定数値を加えることにより、零点を 作ってみます ｉ値を加えることにより完全な零…

高次方程式の零点を作る（１） 一般にＸ値をある値Ａとするとき、その値をＸに入れて関数ｆ(ｘ) を 計算したとき ｆ(Ａ) となりますが、この値を０にするには元の関数 の定数項をつぎのように変更すればいいことになります。 ｆ(Ａ) の値は定数なので、この…

一般の高次方程式の解法（６） 前回の計算結果から、θ＝12π／20付近とθ＝28π／20付近 にＲ，ｉ共に０に近い点があるようです。 Ｒ，ｉ共に０なら、完全な零点と考えられますが、はたしてそうで しょうか。 数の風景－９４で行った方法で調べてみました。 結…

一般の高次方程式の解法（５） ここでもう少し次数の低い方程式の解について、つぎのサンプルで 見てみましょう。 零点のありかを探すのに、今回は２πを40分割して、それぞれの ポイントで関数値を計算してみます。 計算の方法は簡単で、つぎの手順で進めま…

一般の高次方程式の解法（４） 前回の変形後の式が誤っていないかチェックしてみました。 計算の結果、数値の誤差は少し発生しますが問題なく元の 12次式に戻るようです。 ここまできたら、このほかにまだ実数の零点があるのか調べ てみたくなりました。10次…

一般の高次方程式の解法（３） 前回、得られた２つの実数解を θ1，θ2 として、高次式を （Ｘ－cosθ1）（Ｘ－cosθ2）（Ｘの(ｎ-2)次式）＝０ の形に 変形します。 この例について、まずcosθ1 の場合から計算してみます。 １２次式から１１次式への変形後の関…

一般の高次方程式の解法（２） 前回の零点探査で、実数、虚数共に０になるＸ値は見つかりません でした。しかし、実数、虚数別々になら零点がありそうです。そこで 実数について零点がありそうな箇所に焦点を絞って、零点探査を してみたいと思います。 この…

一般の高次方程式の解法（１） ここまで、ある決まった形の高次方程式の解を求めてきましたが やはり、最終的には一般的な形の高次方程式の解について考え てみたくなります。 そこで、最高次の係数が１で、それより小さい次数の係数および 定数項は任意の値…

ｎ次方程式をオイラーの公式を用いて解く（３） ここでは、別の簡単な形の高次方程式でその解を求めてみます。 式はつぎの２つにしました。 この解をつぎのように求めました。 さらに、つぎの４つの高次方程式でその解を求めてみます。 この解をつぎのように…

ｎ次方程式をオイラーの公式を用いて解く（２） 前回、ここで取り上げている形のＸのｎ次方程式についてオイラーの 公式を用いて解を求める方法を考えましたが、今回はこれを使って Ｘの３次方程式と４次方程式の解を求めてみます。 まず、Ｘの３次方程式で…

ｎ次方程式をオイラーの公式を用いて解く（１） Ｘの４次方程式の解 ａ，ｂ，ｃ ，ｄについては、数の風景－８１で計算 を試みましたが、まだ解が得られていません。 そこで４次式だけでなく、この形の高次方程式全ての次数について オイラーの公式を援用し…

３次方程式解（数の風景－８０）を（Ｒ＋ｉ）形へ Ｘの3次方程式の解 ａ，ｂ，ｃ の３つの組合せを図で表すことを目標に、 数の風景－８２から前回まで、多種類の虚数の表示と計算について 整理してきました。 やっとその作業が終わったので、解 ａ，ｂ，ｃ …

各虚数の整理と表示（７） 虚数記号での計算結果と（Ｒ＋ｉ）形での計算結果の間に矛盾が発生 しなければ、両者は何の制限もなく相補的に計算可能となります。 これまでの検証結果では矛盾は発生せず、両者は制限なく相補的に 計算可能といえるようです。 そ…

各虚数の整理と表示（６） 今回は（１＋ｊ ）の累乗の計算を行ってみます。計算は２つの方法で 行います。 方法Ａ 虚数記号で計算を行って展開式を簡素化し、最後に（Ｒ＋ｉ）形にする 方法Ｂ 最初から（Ｒ＋ｉ） 形で計算する 方法ＡとＢで結果が一致するか…

各虚数の整理と表示（５） 前回に引き続き今度はランダムに掛け算、割り算をして、虚数記号 の計算結果と （Ｒ＋ｉ）の計算結果とに矛盾がないかチェックしていき ます。 まず掛け算です。 つぎに割り算を見てみます。 ここまで特に問題は見られませんでした…

各虚数の整理と表示（４） 前回多くの虚数を （Ｒ＋ｉ）の形で表すことができました。しかし変換され た 実数と虚数ｉの和 が元の各虚数の代わりとして何の問題もなく機能 するかどうかは、いろいろ試してみて確認していく必要があります。 まず、各虚数記号…

各虚数の整理と表示（３） 前回までの検討の結果、すべての虚数を（Ｒ＋ｉ）の形で表すことが できるようです。 ここでの数ａの表し方は αの平方根各回数の値に、それに応じた 各種の数を掛けた形になります。そして各種の数はすべて（Ｒ＋ｉ） の形で表すこ…

各虚数の整理と表示（２） 前回、各虚数 ｉ ｊ ｋ をＲ－ｉ座標表示しました。 ここで再度 ｋ 以上の すべての虚数についてつぎにまとめます。 以上の虚数を 数の風景－７６ で見てきた、数ａの平方根をとり続けて いく場合の虚数分類に対応してまとめてみま…

各虚数の整理と表示（１） 前々回、Ｘの3次方程式の解 ａ，ｂ，ｃ の値を求めましたが、その３つ の組合せを図で表すことはできないか検討してみます。そのためには 多くの虚数を整理して、表示だけでなく計算もできるだけ簡素化する 必要があります。 そこ…

高次方程式を解く（２） 今度はつぎのようなＸの４次方程式について見ていきます。 これが解 ａ，ｂ，ｃ，ｄ を持つとするとき、前回と同様の方法で展開式 を求め、その展開式は上の４次方程式に一致しなければなりません。 それには、各次数のＸの係数値お…

高次方程式を解く（１） このような虚数たちを気味悪がっているだけでは面白くありません。 そこでこれをうまく利用して高次方程式を解くことができないだろうかと 考え、まず３次方程式に取り組むことにしました。 つぎのようなＸの３次方程式の解はどうな…

数の風景－７９ 各虚数間の計算方法 ここまで見てきた中で、１の累乗根連続４回で８種類の数が現れ、その うち７種類が虚数です。それぞれに＋と－があるので、合計１６種類に 別れ、そのうち１４種類が虚数です。 ここで、これら１６種類の数の間での計算方…

多種類の虚数（３） 前々回、前回と 平方根や共役複素数をとり続けていくことにより、多く の虚数が現れてくる様子を見てきましたが、ここでは ｉ 以下のいろいろ な虚数について、それを累乗していくことでどのように変化していくかを 見てみます。 それぞ…

多種類の虚数（２） 前回、平方根をとり続けていくことにより、多くの虚数が現れてくる様子 を見てきましたが、共役複素数をとることによっても多くの虚数記号が 発生します。 共役複素数の関係式を用いて、つぎのように上位の虚数を下位の虚数 の積に分解す…