数体系について－１３

　数体系には守備範囲がある？　（５）

　ここまで 数ｘ の数値範囲と素数発生の関係を、私が用いている素数個数の推定式
　に基づいて調査してきました。その結果、ｘ＞７　の領域では整然としたｓｉｎ曲線
　が現れます。　しかし、それより小さい　ｘ＜eの2乗　の範囲では整然とした波形は
　現れません。
　したがって、この範囲の数値解析はｅの指数の世界、しかもその指数は複素数から
　素数まですべてを駆使して行う必要があるのではないでしょうか。
　ここまでの考察から、数値範囲に対応する最適な数体系はつぎのようにまとめられ
　ます。

　これはあくまでも私個人のイメージで、何らかの推奨や制限を促すものではあり
　ません。

数体系について－１２

　数体系には守備範囲がある？　（４）

もう一つ　面白い数値関係が見つかりましたので、紹介します。
ｅの式をベースに、ｘ=8　としてｅのｘ乗の計算をしてみました。結果はつぎの
ように実際のｅの8乗（2980.96）の1/5に満たない小さい値になりましたが、
これは分割数n=8 と小さい値で計算していることによると考えています。

ここで興味深い数値関係が現れました。数値表で、x=7 k=7 つまり、(7/8) の 7乗
の値がπ=3.14157と同値になっていることです。なぜπ値になるのか私にはよく解り
ません。どのように解釈したらよいのでしょうか。

数体系について－１１

　数体系には守備範囲がある？　（３）

　ここでは　もう少しｘ値の範囲を拡大してｓｉｎ曲線の様子を見ていきます。
　表中、下線部は実数部 R または虚数部 ｉ の正負の記号が切り替わる
　境界部を示しています。また色表示しているｘ値は素数です。
　

　同様の計算をｘ≦1000の範囲で行いましたが、同じ繰り返しなのでｘ＞200は割愛
　しています。
　これを ｘ値 100～1000の範囲について途中省略でグラフに表します。

　つぎは、11≦ｘ≦1000の範囲でｅ の im乗が作るｓｉｎ曲線の周波数と、素数個数との
　関係を見るために、表とグラフにまとめたものです。

　ここで面白い数値関係が見られます。
　それは、11≦ｘ≦1000 の範囲においてｅ の im乗が作るｓｉｎ曲線の周波数と、
　素数個数との関係が　（周波数）/（素数個数）≒π/20　になっていることです。
　その理由はよく解りませんが、偶然の近似値にしてはでき過ぎていませんか。

数体系について－１０

　数体系には守備範囲がある？　（２）

　ここで、整数 ｘ とそれに対応する素数個数 ｍ 値との関係を 1≦ｘ≦100 の範囲で
　俯瞰してみます。

　これをグラフに表します。

　グラフからも明らかなように、ｘ＞７　の領域では整然としたｓｉｎ曲線が現れます。
　これは　ｘ≧ｅの2乗　つまり　ｘ＞7.389　の領域であり、それより小さい

　ｘ＜7.389　の範囲では整然とした波形は現れません。

数体系について－９

　数体系には守備範囲がある？　（１）

　ここまで素数の推定式について見てきましたが、どうも数の体系には最適な守備
　範囲があるのでは との思いが湧いてきて打ち消すことができません。

　ここから、その観点に基づいて数体系を見直していきます。
　前回ブログ「波と粒」で、ｅの指数の場に素数個数を直接おいて、波と粒の発生に
　ついて調べました。そこで扱う数の絶対値は　ほぼ ｘ＜100 でした。
　オイラーの公式では虚数の混じった複素数が現れます。ここで扱う実数値は更に
　小さく、ほぼ ｘ＜50 です。
　このような数の領域で、 素数個数mはどのような働きをしているのでしょうか。
　まず、数 ｘ から m 値を計算し、その変化の様子を ｅ の指数上で ｉ m という形で
　表すことにより見ていきます。

　x = e を中心に多くの脈動が現れ、ｅ から +,- の方向に離れるにつれて脈動は
　少なくなっていきます。　確認のため、6.1≦ｘ≦10 の範囲で Ｒ，ｉ の動きをｸﾞﾗﾌ
　に表していますが、緩やかな変化が続いています。
　
　ここで、，x=2π の場合について素数個数mの計算をしてみます。

　これをグラフに表します。

　１への最接近点は　x = 6.3 ≒ 2π であることが判ります。　

　特に 1.98＜ｘ＜3.63 は ｅ のim乗において -2π＞m，m＞4πに相当し、この範囲
　に粒として扱われる脈動が集中していることを「波と粒－２８」で確認しています。

数体系について－８

　素数個数の近似式（８）

　ここでは -4 でも触れた log の混じった式について 優先順位を変えて計算する
　ことによる計算結果への影響を、ｘ値の範囲を拡張して調査します。
　-4 同様、素数個数シミュレーションの 改良式2 についてつぎのように計算方法、
　計算順序を変えて計算法Ｅ，Ｆ，Ｇとして計算しました。

　計算法ＥとＦはｓｔｅｐ①、②、③で計算値に差がなくｓｔｅｐ④、⑤でも差が発生  　しないことが明白なので、計算法Ｆの結果のみを④、⑤に表示しています。
　結果は、計算法Ｇで　ｘ≧2000　からＥ，Ｆとの差が大きくなり始め、ｘ＝1000000　
　では　500　に近い差となっています。

数体系について－７

　　素数個数の近似式（７）

　ここでシミュレーションの式　を少し計算方法を変えて計算しなおしてみます。

　上のように計算式を、実線枠から破線枠の式に変更して再度計算し、実測値
　と比べます。

　今回の式でも特異点は同じように発生します。図でも判るように、その位置は
　これまでの位置と変わりはありません。
　ここで　1000≦ｘ≦1000000　の範囲で計算値の変化を見ていきます。

　この範囲では改良式２の計算値が　ｘ＞1000　辺りから実測値より徐々に大きい
　方へ離れ始め、ｘ＞100000　辺りから実測値との乖離が大きくなっていきます。
　前回の計算では改良式１とほぼ同じ値となっていたのに、計算法がちょっと違う
　だけでこれだけの違いが現れてきます。
　これから、「ｌｏｇを交えた計算式の正しい計算法は？」　という疑問が沸いてきま
　す。　が、私には手に負えないので この疑問への取り組みはスルーします。

　いずれにしても、今回も改良式１が最良のシミュレーションになることが判りました。
　結論として、　Ｐ(n) =n/(log n - ( 1+1/(log n -(1+1/(log n -(1+1/(log n 　・・・　))))
　と単純に繰り返せば素数の実測数に近づくのではなく、

　　　　Ｐ(n) =n/(log n - ( 1+1/(log n -1）））

　と１階付け加えるのが最適なシミュレーションになります。
　ただし　1＜ｘ＜2000　の範囲では従来の　Ｐ(n) =n/(log n - 1）　が最も精度が
　高いといえます。