数体系には守備範囲がある？ （５）
ここまで 数ｘ の数値範囲と素数発生の関係を、私が用いている素数個数の推定式
に基づいて調査してきました。その結果、ｘ＞７ の領域では整然としたｓｉｎ曲線
が現れます。 しかし、それより小さい ｘ＜eの2乗 の範囲では整然とした波形は
現れません。
したがって、この範囲の数値解析はｅの指数の世界、しかもその指数は複素数から
素数まですべてを駆使して行う必要があるのではないでしょうか。
ここまでの考察から、数値範囲に対応する最適な数体系はつぎのようにまとめられ
ます。
これはあくまでも私個人のイメージで、何らかの推奨や制限を促すものではあり
ません。
数体系には守備範囲がある？ （４）
もう一つ 面白い数値関係が見つかりましたので、紹介します。
ｅの式をベースに、ｘ=8 としてｅのｘ乗の計算をしてみました。結果はつぎの
ように実際のｅの8乗（2980.96）の1/5に満たない小さい値になりましたが、
これは分割数n=8 と小さい値で計算していることによると考えています。
ここで興味深い数値関係が現れました。数値表で、x=7 k=7 つまり、(7/8) の 7乗
の値がπ=3.14157と同値になっていることです。なぜπ値になるのか私にはよく解り
ません。どのように解釈したらよいのでしょうか。
数体系には守備範囲がある？ （３）
ここでは もう少しｘ値の範囲を拡大してｓｉｎ曲線の様子を見ていきます。
表中、下線部は実数部 R または虚数部 ｉ の正負の記号が切り替わる
境界部を示しています。また色表示しているｘ値は素数です。
同様の計算をｘ≦1000の範囲で行いましたが、同じ繰り返しなのでｘ＞200は割愛
しています。
これを ｘ値 100～1000の範囲について途中省略でグラフに表します。
つぎは、11≦ｘ≦1000の範囲でｅ の im乗が作るｓｉｎ曲線の周波数と、素数個数との
関係を見るために、表とグラフにまとめたものです。
ここで面白い数値関係が見られます。
それは、11≦ｘ≦1000 の範囲においてｅ の im乗が作るｓｉｎ曲線の周波数と、
素数個数との関係が （周波数）/（素数個数）≒π/20 になっていることです。
その理由はよく解りませんが、偶然の近似値にしてはでき過ぎていませんか。
数体系には守備範囲がある？ （２）
ここで、整数 ｘ とそれに対応する素数個数 ｍ 値との関係を 1≦ｘ≦100 の範囲で
俯瞰してみます。
これをグラフに表します。
グラフからも明らかなように、ｘ＞７ の領域では整然としたｓｉｎ曲線が現れます。
これは ｘ≧ｅの2乗 つまり ｘ＞7.389 の領域であり、それより小さい
ｘ＜7.389 の範囲では整然とした波形は現れません。
数体系には守備範囲がある？ （１）
ここまで素数の推定式について見てきましたが、どうも数の体系には最適な守備
範囲があるのでは との思いが湧いてきて打ち消すことができません。
ここから、その観点に基づいて数体系を見直していきます。
前回ブログ「波と粒」で、ｅの指数の場に素数個数を直接おいて、波と粒の発生に
ついて調べました。そこで扱う数の絶対値は ほぼ ｘ＜100 でした。
オイラーの公式では虚数の混じった複素数が現れます。ここで扱う実数値は更に
小さく、ほぼ ｘ＜50 です。
このような数の領域で、 素数個数mはどのような働きをしているのでしょうか。
まず、数 ｘ から m 値を計算し、その変化の様子を ｅ の指数上で ｉ m という形で
表すことにより見ていきます。
x = e を中心に多くの脈動が現れ、ｅ から +,- の方向に離れるにつれて脈動は
少なくなっていきます。 確認のため、6.1≦ｘ≦10 の範囲で Ｒ，ｉ の動きをｸﾞﾗﾌ
に表していますが、緩やかな変化が続いています。
ここで、，x=2π の場合について素数個数mの計算をしてみます。
これをグラフに表します。
１への最接近点は x = 6.3 ≒ 2π であることが判ります。
特に 1.98＜ｘ＜3.63 は ｅ のim乗において -2π＞m，m＞4πに相当し、この範囲
に粒として扱われる脈動が集中していることを「波と粒－２８」で確認しています。
素数個数の近似式（８）
ここでは -4 でも触れた log の混じった式について 優先順位を変えて計算する
ことによる計算結果への影響を、ｘ値の範囲を拡張して調査します。
-4 同様、素数個数シミュレーションの 改良式2 についてつぎのように計算方法、
計算順序を変えて計算法Ｅ，Ｆ，Ｇとして計算しました。
計算法ＥとＦはｓｔｅｐ①、②、③で計算値に差がなくｓｔｅｐ④、⑤でも差が発生 しないことが明白なので、計算法Ｆの結果のみを④、⑤に表示しています。
結果は、計算法Ｇで ｘ≧2000 からＥ，Ｆとの差が大きくなり始め、ｘ＝1000000
では 500 に近い差となっています。
素数個数の近似式（７）
ここでシミュレーションの式 を少し計算方法を変えて計算しなおしてみます。
上のように計算式を、実線枠から破線枠の式に変更して再度計算し、実測値
と比べます。
今回の式でも特異点は同じように発生します。図でも判るように、その位置は
これまでの位置と変わりはありません。
ここで 1000≦ｘ≦1000000 の範囲で計算値の変化を見ていきます。
この範囲では改良式２の計算値が ｘ＞1000 辺りから実測値より徐々に大きい
方へ離れ始め、ｘ＞100000 辺りから実測値との乖離が大きくなっていきます。
前回の計算では改良式１とほぼ同じ値となっていたのに、計算法がちょっと違う
だけでこれだけの違いが現れてきます。
これから、「ｌｏｇを交えた計算式の正しい計算法は？」 という疑問が沸いてきま
す。 が、私には手に負えないので この疑問への取り組みはスルーします。
いずれにしても、今回も改良式１が最良のシミュレーションになることが判りました。
結論として、 Ｐ(n) =n/(log n - ( 1+1/(log n -(1+1/(log n -(1+1/(log n ・・・ ))))
と単純に繰り返せば素数の実測数に近づくのではなく、
Ｐ(n) =n/(log n - ( 1+1/(log n -1）））
と１階付け加えるのが最適なシミュレーションになります。
ただし 1＜ｘ＜2000 の範囲では従来の Ｐ(n) =n/(log n - 1） が最も精度が
高いといえます。
