コラッツ予想－２９

　奇数連続発生による発散の有無調査から結論へ

　最後に、2step以上連続して奇数が発生する場合の問題があります。この
　場合はスタートのX値より大きな奇数になっていきますが、その動きには
　つぎの３つの制約があります。

　　①X値がどこまで大きくなっても 傾き 3/2 の直線を超えることは
　　　できない
　　②X値は奇数：偶数が１：１なので、計算スタート時においては
　　　奇数処理：偶数処理も　それぞれ１：１の確率で発生するが
　　　処理の結果 発生する奇数にはつぎの制約がある
　　　　・奇数処理後発生する奇数はG1,G2,G3のうち、G2の奇数
　　　　　しか発生しない
　　　　　（注）G1 X=3P-2,　G2 X=3P-1,　G3 X=3P　（P=1,2,3,・・・）
　　③処理後発生する奇数は一連の処理ですでに発生した奇数
　　　値に戻ることはない

　①，②，③の制約があるので、奇数が無制限に連続発生することはなく、
　計算中に発生する偶数により、すでに計算済みのより小さい値からスタート
　した計算フローに合流します。その様子は－２３～２６で見た通りです。
　この流れが全整数に例外なく適用されるかどうかは、－２２において 全ての
　整数Xに対応して1step前に全ての整数が存在し例外のX値はないことを
　確認しています。
　
　以上をつぎのようにまとめて　一連の検証結果とします。

　結論

　コラッツ予想
　　「どんな正の整数も、偶数なら2で割り、奇数なら3倍して1を
　　足す。この操作を繰り返せば、必ず最後は1になるだろう」

　　→　この予想に反証も例外も見られない

　①操作をした時に、○→△→◇→☆→○のように最初の数に戻って
　　しまう循環パターンがないこと（ただし、1→4→2→1を除く）

　　→　循環パターンは発生しない　（関連記事）コラッツ予想－１４

　②操作をした時に、数がどんどん大きくなってしまう発散をしないこと

　　→　小さい値に収束していく　（関連記事）コラッツ予想－２７～２８

　これでこのシリーズを終わります。

「付録」

  つぎは、参考資料としてグループ２の値 ８ （step(-3)に相当）からスタート
　し、コラッツの計算を逆向きに進めていく計算を表示したものです。
　step(-20)まで表示しています。

　表の見方は、左が０または空欄の数は偶数処理の値です。左の欄の下方
　に　その１／２の数があります。
　数が左右に並んでいる場合は、右の数は左の奇数処理の値です。

　コラッツの計算では全ての整数は表の右から左へと流れ、最終的に１に
　たどり着きます。

　徒然散歩もこれで終わり、帰途につきます。　散歩道周辺の景色を見て
　いただいき、☆も沢山いただきました。ありがとうございます ☆☆・・・☆
　それでは皆様　お元気で

コラッツ予想－２８

数のグループを考慮した期待値の見直し（２）

　前回の期待値計算式での数値計算結果では約 0.6 になりました。 その
　理由は G1～G3 を１単位としてコラッツの計算を見たときに、分母となる
　step(-1) の４個の数のうち３個が偶数、残り１個が奇数であることにあり
　ます。
　分子は偶数の 1/2 の数３個と奇数の 3/2倍＋1/2 の数１個になるので
　計算結果は明らかに１未満になります。
　分母に奇数処理できる奇数値が１個しか存在しない理由は－２３，２７で
　見たとおりです。
　このような理由から、コラッツの計算において発生する奇数は奇数全体
　のほぼ 1/3 となります。

　つぎの表は、P値 (P=1,2,3,・・・)を使い、整数Xをグループ１,２,３に分けて
　数値、発生率、期待値をP値で計算、表示したものです。

　ここで期待値について、P値単位でグループ１,２,３を１packにしてつぎの
　ように　X値／step(-1)　 の値をP→∞について求めます。

　数式による計算結果は、前回数値計算結果に一致しました。このように、
　コラッツの計算による数値の動きは全体として小さい値に向かって収束
　していくことが計算式によっても確認されました。

コラッツ予想－２７

　数のグループを考慮した期待値の見直し（１）

　ここまでの結果をもとに数グループを考慮した期待値の見直しを行います。
　現stepのX値を３つのグループ（G1，G2，G3）ごとに１つにまとめ、その

　１単位ごとにコラッツの計算前後で現れる期待値の計算を行います。
　現stepのX値１単位とそれに対応する１step前の数とを計算し、比の値を
　つぎのように計算します。

　ここで分子の G1，G2，G3 は グループ１,２,３の値で、つぎのようになります。
　　　　　　　　　G1＝3P-2　　G2＝3P-1　　G3＝3P
　分母は －２３で表示した step（-１） の式になります。
　上の式で分子にＧ2を２個加算している理由は、グループ1，３は１step前の
　値と処理後の値が１対１の関係ですが、グループ２は１step前の値が偶数
　値，奇数値の２つなので処理後の値G2も２つになるからです。

　下表は１≦X≦６０の範囲でG1～G3 を１単位として処理前後の比率を計算
　しています。　各単位はP値で表されます。
　各Ｐ値に対応して X値／step(-1) を次の式で計算して表しています。
　この数値は、P値単位で、(コラッツ計算後の値)／(１step前の値) を計算した
　もので、各Pに対応する（G1+G2+G3）の期待値が１step前の値に対してどれ
　だけの比率になるのかを見るものです。

　期待値の計算結果は全て約 0.6 であり、すべてのP値単位において小さい
　値に収束していくことが確認されました。
　グループ1，３に奇数処理がない理由は－２２以降何度も触れてきたように、
　これらのグループは逆コラッツの処理で奇数値が発生しない、逆にいえば
　コラッツの計算では奇数処理からはグループ１，３の数は発生しないため
　です。　逆コラッツの計算式からもその理由がわかります。

　つぎに、もっと大きな値ではどうなるのか確認のため X=1000 と 1000000
　付近で見てみます。

　X値が大きくなるにしたがい、期待値は 0.6 に更に近づいていきます。

コラッツ予想－２６

　順方向でのｸﾞﾙｰﾌﾟ間移動確認

　ここまで逆向き計算から処理前後の数のグループ間移動の調査につない
　できましたが、この動きはコラッツの計算から直接確かめることもできます。

　前に－６で係数１，３，５の関係を整理しましたが、この関係を整理すれば

　つぎのようになります。

　ここで　(x1)，(x3)，(x5)　は係数１，３，５の計算式を表しています。
　つぎは奇数値Xを X=2P-1 （P=1,2,3,・・・）として、係数１，３，５ について
　奇数値処理結果をPで表したものです。

　係数３のコラッツの計算後は全てグループ２の数 ３P-1 になることが確認
　されました。
　一方、係数１の計算後は全ての正の整数 P、係数５では ３，８，13，・・・ と
　５つとばしの数 ５P-２ になっています。
　つぎはX≦99の範囲で奇数値計算を行なった表です。

　このように数Xが奇数の場合、コラッツの計算では全てグループ２の数に
　なりますが、係数１と５の場合は計算後グループ１～３の数が満遍なく現れ
　ます。

コラッツ予想－２５

　処理前後の数のグループ間移動（３）

　前回まではpeak値を中心に見てきましたが、それらは全て偶数です。
　そこで今回は、奇数値を中心に数のグループ間移動の様子を調査します。
　前回の28個のpeak値を起点に、１に到るまでの数値変化の中に発生する
　奇数を見ます。

　この表で、peak後初めて現れるグループ２の奇数は 5，11，17，23，29 の
　５つに絞り込まれていき、その５つのパターンの１つで１に向かっています。

　参考までに、範囲１≦X≦60 からスタートする奇数のうち、peak値 4616に
　向かうX値は 27，31，41，47，55 の５つで、特定の数グループへの偏りは
　見られません。

コラッツ予想－２４

　処理前後の数のグループ間移動（２）

　各整数についてコラッツの計算を行なっていくと、一連の計算の中では
　同じ数は１回しか現れないけれども、計算の途中で他の整数の計算値と
　同じ並びになってしまいます。
　また、それらは限られた数の並びに集約されているように見えます。
　それを具体的数値で確かめてみます。
　つぎの表はコラッツの計算において現れるpeak値とその発生数を計算
　スタートのX値 １≦X≦60 の範囲について表示したものです。

　この結果、60個の整数のうち、コラッツの計算でpeak値の数は28個あり、
　同じpeak値以降は同じ数の並びになります。
　前々回からの数のグループ分けに従えば、28個のpeak値のうち、つぎの
　ようにグループ別では グループ２が最も多くなっています。
　　　　　　　グループ１　･･･　peak値　 ８
　　　　　　　グループ２　･･･　peak値 １５
　　　　　　　グループ３　･･･　peak値　 ５
　よく見ると、コラッツ計算でのpeak値がグループ１と３の数はスタートの
　X値がpeakとなっており、グループ２のpeak値だけがスタートのX値より
　大きな値を含んでいます。
　また、スタートのX値のうち80％超がグループ２のpeak値を持つこと、
　複数のX値が同じグループ２のpeak値を持つこと、などが見て取れます。

コラッツ予想－２３

　処理前後の数のグループ間移動（１）

　期待値計算では収束が確認されないのに、なぜ計算の結果は全て１に
　収束するのかという疑問を解き明かすために、追究を続けます。
　現在stepの数値Xに対して、コラッツの計算によってその１ｓｔｅｐ前後に
　発生する数のグループ間移動の様子を見ることで、理解を深めることが
　できるようです。
　つぎの表は現在step の値Xをグループ１,２,３に分けたとき、その前後の
　数値はどうなるかを計算したものです。

　上表において、step(-1)はコラッツの計算において整数Xの１つ前の値
　です。

　各グループの数のコラッツ計算での動きはつぎのようにまとめられます。

　・グループ１　全てグループ２へ移動する
　・グループ２　奇数処理でグループ２に留まる
　　　　　　　　　偶数処理でグループ１へ移動する
　・グループ３　奇数処理でグループ２へ移動する
　　　　　　　　　偶数処理でグループ３に留まる

　以上から判るように、グループ１と３の数Xには偶数処理からしか移る
　ことができず、奇数処理結果は全てグループ２の数Xになります。
　またグループ３の偶数処理で発生した奇数はグループ３になりますが、
　つぎのｓｔｅｐで奇数処理によりグループ２に移動します。
　その流れを X≦60 の範囲で数値確認してみます。

　このようにコラッツの計算により全体としてグループ２の数に集中していく
　流れになっています。

　コラッツ予想－３で、計算図に垂直の赤線がない偶数(6，12，18，24，・・・) 
　が存在するのはなぜか疑問が生まれましたが、つぎの２点の理由により、
　奇数値処理スタートからの数値移動を表すその図には現れないからである
　ことがわかりました。

　処理前後の「数値のｸﾞﾙｰﾌﾟ間移動」
　　① 奇数処理からはグループ３の数は発生しない
　　② 奇数処理でグループ２に移った数は、その後の処理で
　　　　グループ１と２との間の数値移動となる