積分 前回とは逆に Ｙ＝Ｘ について積分を行えば、直線 Ｙ＝Ｘ とｘ軸（０からｘまで） とが作る三角形の面積になります。 このようにして積分によってできた関数をＸで微分すると元の関数 （ここではＹ＝Ｘ ）に戻ります。 一般にＸの０次以上の関数Ｙの微…

微分 微分はＸの微小な変化にともなって関数Ｙの値がどのように変化していくかを 見るものですから、Ｘ－Ｙ平面上でＸの各点における関数Ｙの傾きの値を関数化 する作業になり、積分はその逆つまりＸ－Ｙ平面上でＸ＝０からＸまでの関数Ｙの 累積値を関数化…

０，１，∞（無限大） ０，１，∞ は いろいろな関数の計算にとって重要なものであり、つぎの ようなものではないかと考えていますが、これでいいのでしょうか。 ０は分数の分母を無限に大きくしていくことで実現 ０ ＝ ｌｉｍ １／ｎ （ｎ：自然数） ｎ→∞ ０ …

（Ｘ＋１）の累乗 Ｘの一次式（Ｘ＋１）を複数回掛けたらどういう式になるのでしょうか。数の少ない 方から少しずつ計算していきます。 各項の係数値はちょうど真ん中辺りが最も大きいことがわかります。（Ｘ＋１）の ｎ乗のときの係数値はつぎのように知ら…

組み合わせ数 ナンバープレート ここでナンバープレートの組み合わせ数について考えてみます。 ０から９までの１０個の数字を使って４桁の番号札を作るとしたら ００００ から ９９９９ まで １００００個の札ができます。 この番号の組み合わせは各桁１０個…

関数 その（４） 三角関数 図のような直角三角形があり、1つの角度がΘのとき、つぎのように三角 関数として表されます。 ｓｉｎΘ＝隣辺２／斜辺 ｃｏｓΘ＝隣辺１／斜辺 ここで Ｘ＝ｃｏｓΘ Ｙ＝ｓｉｎΘ として、Ｘを横軸に、Ｙを縦軸にして角度Θ の変化に伴…

関数 その（３） 指数関数 指数関数は通常、自然対数の底ｅの指数を変数ｘとして、つぎのように 表されています。 指数関数ｅのｘ乗は、微分や積分をしてもその関数の形が全く変わらず、ｅの ｘ乗のままであるという特別なものですね。 その特別な数 ｅ の値…

関数 その（２） 文字式の計算 計算は原則()の中を先に計算しますが、つぎのように展開して計算する こともできますね。 （ａ＋ｂ）＋（ｃ＋ｄ）＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ （ａ－ｂ）－（ｃ－ｄ）＝ａ－ｂ－ｃ＋ｄ （ａ＋ｂ）×（ｃ＋ｄ）＝ａ×（ｃ＋ｄ）＋ｂ×（ｃ＋…

関数 その（１） 前回、果物の数を管理するのにリンゴをＡ、ミカンをＯ、ナシをＰとして、３つの ダンボールで管理する例を考えました。 ここでＡ，Ｏ，Ｐを単に数だけでなく、仕入費合計Ｔc、売上合計Ｔsとして管理する ことを考えます。 仕入費については…

文字数、文字式 文字は数字ではありませんから文字そのもので計算できるわけではなくて、 これはたとえば果物を入れるダンボール箱みたいなものですね。そのダン ボール箱には文字が書いてあり、リンゴと書いてあればリンゴしか入れること ができません。リ…

黄金比 その（３） 黄金比は自然界にもいろいろなところに隠されているとか。そこで自分も まわりの自然を探してみていくつかそれらしいものを見つけました。その 1例として海辺に生えている植物（下の写真）の成長のパターンを数値化 して調査してみました…

黄金比 その（２） 多重根号の式からつぎのような方程式が導かれます。 また黄金比とその対の値の関係はつぎのように美しい関係が見られます。 前回の答え 答えの１例です。 黄金比＝１＋１／黄金比 これは連分数を方程式に置き換えることで導かれます。

黄金比 その（１） １．６１８０３・・・ このブログでもずっと前にフィボナッチ数の隣り合う数の比がこの黄金比 になることに触れました。またつぎのような連分数や多重根号からも黄金比 が得られることが関連の本で紹介されています。 これを見ているとこ…

複素数 実数と虚数の和の形は複素数と呼ばれていますね。複素数の計算法 実数と虚数は直接乗除算できますが加減算は実数は実数どうし、虚数は 虚数どうしで行います。 ２つの複素数 ａ＋ｉ ｂ と ｃ＋ｉ ｄ の加減乗除をやってみます。 （ａ＋ｉ ｂ）＋（ｃ…

虚数 ここまでの数はすべて実数のグループに入りますが、ここでさらに虚数という ものが出現します。これは２乗したら－になる数です。その数の素ともいうべき ものは通常 ｉ で表されます。 この ｉ は ｉ × ｉ ＝ －１ という性質を持っているとされており…

無理数 これまでの数全体を有理数といわれていますが、ここで無理数というものも 出現します。これはたとえば指数の値が分数で表されるような数字に混じって います。 例として１から１０までの１／２乗の値について見てみましょう。これは平方根 と呼ばれて…

－（マイナス）の数 つぎに－（マイナス）記号について考えてみます。 整数の前に－をつけると負の整数になります。これは目ではなかなか見え ませんがどこかを基準値０にしてそれからの差をみるときに現れます。 長さや重さなど測定できるものはなんでも、…

素数 素数は１，２，３，４，・・・と続く自然数の中で１とその数自身でしか割り切れ ない数です。 ２０までの数でそれに該当する数は１を除けば２，３，５，７，１１，１３，１７， １９の８個あります。数が増えるにつれて現れる素数の数は少しずつ少なく…

乗数 （または指数） その（２） 乗数（指数）の世界でもうひとつ特徴的なことは、指数の値が－であっても 実数値は０より大きいことです。指数値とそれを計算した実数値との関係は つぎのようにまとめられます。 Ａが１より大きいという条件でＡの指数ｘが…

乗数 （または指数） その（１） たとえば ２×２×２ は２を３回掛け合わせています。これは２の３乗で８ ですね。 ２の５乗は３２ですが、これに２の３乗（＝８）を掛ければ２５６ですね。また ２の５乗を２の３乗で割れば４になります。 これは指数の加減算…

小数（循環する小数） 小数は１より小さい数を表す数字です。前回の分数でも１より小さい 数を表すことができます。そこで分数と小数を並べて見てみます。 １／１ １ １／２ ０．５ １／３ ０．３３３３３３３３３３３３３３３３３３・・・ １／４ ０．２５ …

整数，分数 整数 自然数は正（プラス）の整数とも言われるように、整数には負（マイナス）の 数も含まれます。 ・・・－５，－４，－３，－２，－１，０，１，２，３，４，５，６，・・・ 分数 リンゴを食べるときに２つに割ったり、さらにそれを２つに割っ…

自然数の計算 自然数の計算は加減乗除、記号で表せば＋－×÷ですね。これはいちいち説明するまでもありませんが、ここでは魚を例に考えてみます。 二人で海釣りに行きました。クロダイが３匹、メジナが５匹、アジが３０匹釣れましたが、小さい魚は海に返した…

これから数に関係あるいろいろなことを超スローペースで気の向くままに見ていくことにします。知っているはずの数の世界もじっと見ていると尽きない面白さを感じます。 自然数 庭先に植えた木に実った果物の数とか、釣に行って釣った魚の数とか、このブログ…