一般の高次方程式の解法（２）
前回の零点探査で、実数、虚数共に０になるＸ値は見つかりません
でした。しかし、実数、虚数別々になら零点がありそうです。そこで
実数について零点がありそうな箇所に焦点を絞って、零点探査を
してみたいと思います。
この例では一つの零点のＸ値を求めたら、同様につぎの零点を求め
ます。その値をそれぞれ cosθ1 ，cosθ2 とすると、高次方程式を
つぎのように変形します。
（Ｘ－cosθ1）（Ｘ－cosθ2）（Ｘの(ｎ-2)次式）＝０
さらに、(ｎ-2)次式から同様に次の零点を探します。このようにして
さらに多くの零点を求めることができるかもしれません。
前回の高次方程式において、実数解については、Ｘ＝-(√3-i)/2
と Ｘ＝－１ の間、そして Ｘ＝－１ と Ｘ＝Ｘ＝-(√3+i)/2 の間の
２箇所に零点がありそうでした。
まず、そのうちの一つ、 Ｘ＝-(√3-i)/2 と Ｘ＝－１ の間で実数解
の零点を探ってみます。零点を挟む２点はつぎのように、三角関数
および指数関数として表すことができます。
Ｘ＝ｃｏｓ（5π/6)＋i ｓｉｎ（5π/6) ＝ｅ のｉ（5π/6）乗
Ｘ＝ｃｏｓπ＋i ｓｉｎπ ＝ｅ のｉπ乗
上の式を利用すると累乗の計算が楽にできます。
零点追跡の方法は、つぎの手順で行いました。
以下は実数Ｒの零点追跡ルーチンです。
① 実数解Ｒ＞０となる点をθ1＝πとし、Ｒ＜０となる点を
θ2＝（5π/6) として、その中間点θ＝（π+（5π/6) )/2
を求め、Ｘ＝ｃｏｓθ として、高次方程式の計算をする
② 解が正の数ならばθ1をθ値に置き換え、
負の数ならばθ2をθ値に置き換える
③ θ1とθ2の中間点θ＝（θ1+θ2 )/2 を求め
Ｘ＝ｃｏｓθ として、高次方程式の計算をする
④ ②→③のルーチンを繰り返して、高次方程式の
計算結果を限りなく０に近づけていく
虚数ｉの零点についても、追跡ルーチンは同じです。ただし、Ｘ値
を Ｘ＝ｓｉｎθ として計算することになります。
実数Ｒの零点追跡結果はつぎのようになりました。 同じθ値での
虚数ｉの値も並記しています。
実数の零点は θ＝2.743 辺りであることが求められました。
しかし表からも判るように、虚数ｉの値は０ではなく、0.59 辺り
です。
もう一つの実数の零点も同様にして求めたところ、
θ＝3.54 辺りであることが判りました。ここでも虚数 ｉ の値は
-0.59 辺りで、やはり ０ ではありませんでした。
