数学
高次方程式の零点を作る(2) 前回、定数項を変更する方法で零点を作ることができました。 今回は前々回の7次方程式で、θ=12π/20付近での零点 探査結果をもとに、虚数iの定数値を加えることにより、零点を 作ってみます i値を加えることにより完全な零…
高次方程式の零点を作る(1) 一般にX値をある値Aとするとき、その値をXに入れて関数f(x) を 計算したとき f(A) となりますが、この値を0にするには元の関数 の定数項をつぎのように変更すればいいことになります。 f(A) の値は定数なので、この…
一般の高次方程式の解法(6) 前回の計算結果から、θ=12π/20付近とθ=28π/20付近 にR,i共に0に近い点があるようです。 R,i共に0なら、完全な零点と考えられますが、はたしてそうで しょうか。 数の風景-94で行った方法で調べてみました。 結…
一般の高次方程式の解法(5) ここでもう少し次数の低い方程式の解について、つぎのサンプルで 見てみましょう。 零点のありかを探すのに、今回は2πを40分割して、それぞれの ポイントで関数値を計算してみます。 計算の方法は簡単で、つぎの手順で進めま…
一般の高次方程式の解法(4) 前回の変形後の式が誤っていないかチェックしてみました。 計算の結果、数値の誤差は少し発生しますが問題なく元の 12次式に戻るようです。 ここまできたら、このほかにまだ実数の零点があるのか調べ てみたくなりました。10次…
一般の高次方程式の解法(3) 前回、得られた2つの実数解を θ1,θ2 として、高次式を (X-cosθ1)(X-cosθ2)(Xの(n-2)次式)=0 の形に 変形します。 この例について、まずcosθ1 の場合から計算してみます。 12次式から11次式への変形後の関…
一般の高次方程式の解法(2) 前回の零点探査で、実数、虚数共に0になるX値は見つかりません でした。しかし、実数、虚数別々になら零点がありそうです。そこで 実数について零点がありそうな箇所に焦点を絞って、零点探査を してみたいと思います。 この…
一般の高次方程式の解法(1) ここまで、ある決まった形の高次方程式の解を求めてきましたが やはり、最終的には一般的な形の高次方程式の解について考え てみたくなります。 そこで、最高次の係数が1で、それより小さい次数の係数および 定数項は任意の値…
n次方程式をオイラーの公式を用いて解く(3) ここでは、別の簡単な形の高次方程式でその解を求めてみます。 式はつぎの2つにしました。 この解をつぎのように求めました。 さらに、つぎの4つの高次方程式でその解を求めてみます。 この解をつぎのように…
n次方程式をオイラーの公式を用いて解く(2) 前回、ここで取り上げている形のXのn次方程式についてオイラーの 公式を用いて解を求める方法を考えましたが、今回はこれを使って Xの3次方程式と4次方程式の解を求めてみます。 まず、Xの3次方程式で…
n次方程式をオイラーの公式を用いて解く(1) Xの4次方程式の解 a,b,c ,dについては、数の風景-81で計算 を試みましたが、まだ解が得られていません。 そこで4次式だけでなく、この形の高次方程式全ての次数について オイラーの公式を援用し…
3次方程式解(数の風景-80)を(R+i)形へ Xの3次方程式の解 a,b,c の3つの組合せを図で表すことを目標に、 数の風景-82から前回まで、多種類の虚数の表示と計算について 整理してきました。 やっとその作業が終わったので、解 a,b,c …
各虚数の整理と表示(6) 今回は(1+j )の累乗の計算を行ってみます。計算は2つの方法で 行います。 方法A 虚数記号で計算を行って展開式を簡素化し、最後に(R+i)形にする 方法B 最初から(R+i) 形で計算する 方法AとBで結果が一致するか…
各虚数の整理と表示(5) 前回に引き続き今度はランダムに掛け算、割り算をして、虚数記号 の計算結果と (R+i)の計算結果とに矛盾がないかチェックしていき ます。 まず掛け算です。 つぎに割り算を見てみます。 ここまで特に問題は見られませんでした…
各虚数の整理と表示(4) 前回多くの虚数を (R+i)の形で表すことができました。しかし変換され た 実数と虚数iの和 が元の各虚数の代わりとして何の問題もなく機能 するかどうかは、いろいろ試してみて確認していく必要があります。 まず、各虚数記号…
各虚数の整理と表示(3) 前回までの検討の結果、すべての虚数を(R+i)の形で表すことが できるようです。 ここでの数aの表し方は αの平方根各回数の値に、それに応じた 各種の数を掛けた形になります。そして各種の数はすべて(R+i) の形で表すこ…
各虚数の整理と表示(2) 前回、各虚数 i j k をR-i座標表示しました。 ここで再度 k 以上の すべての虚数についてつぎにまとめます。 以上の虚数を 数の風景-76 で見てきた、数aの平方根をとり続けて いく場合の虚数分類に対応してまとめてみま…
各虚数の整理と表示(1) 前々回、Xの3次方程式の解 a,b,c の値を求めましたが、その3つ の組合せを図で表すことはできないか検討してみます。そのためには 多くの虚数を整理して、表示だけでなく計算もできるだけ簡素化する 必要があります。 そこ…
高次方程式を解く(2) 今度はつぎのようなXの4次方程式について見ていきます。 これが解 a,b,c,d を持つとするとき、前回と同様の方法で展開式 を求め、その展開式は上の4次方程式に一致しなければなりません。 それには、各次数のXの係数値お…
高次方程式を解く(1) このような虚数たちを気味悪がっているだけでは面白くありません。 そこでこれをうまく利用して高次方程式を解くことができないだろうかと 考え、まず3次方程式に取り組むことにしました。 つぎのようなXの3次方程式の解はどうな…
数の風景-79 各虚数間の計算方法 ここまで見てきた中で、1の累乗根連続4回で8種類の数が現れ、その うち7種類が虚数です。それぞれに+と-があるので、合計16種類に 別れ、そのうち14種類が虚数です。 ここで、これら16種類の数の間での計算方…
多種類の虚数(3) 前々回、前回と 平方根や共役複素数をとり続けていくことにより、多く の虚数が現れてくる様子を見てきましたが、ここでは i 以下のいろいろ な虚数について、それを累乗していくことでどのように変化していくかを 見てみます。 それぞ…
多種類の虚数(2) 前回、平方根をとり続けていくことにより、多くの虚数が現れてくる様子 を見てきましたが、共役複素数をとることによっても多くの虚数記号が 発生します。 共役複素数の関係式を用いて、つぎのように上位の虚数を下位の虚数 の積に分解す…
多種類の虚数(1) 数の風景-10で、実数の平方根を複数回とるたびに別種の虚数記号 が増えていき収拾がつかなくなるのではと考えました。その後いろいろ 考えあぐねた末に、今ではそのような虚数の存在は無視できないのでは ないかと考えるに至りました…
ζ(ゼータ)関数について この関数は1以上の全ての自然数を決まった値sで累乗し、それぞれの 逆数を足し合わせるものです。 一般にsには複素数以下、全ての数が 適用されているようです。 s=1 の場合は、数の風景-55で見てきたように log∞ にオイ…
Γ関数について(3) 最後に指数関数を大顎で鋏んでみます。 前々回求めた「f(x)を鋏んだ場合の解」を使って再度計算してみます。 指数関数はさすがに頑丈で、大顎でも噛み砕くことはできませんでした。
Γ関数について(2) 前回、Γ関数の「大顎」の強力な分解力を見てきました。ここで試しに いくつかの関数を鋏んで計算してみます。 まず2次関数から つぎに3次関数を鋏んでみます。 この大顎の威力の源は何でしょうか。それはその構造を見れば分かり ます…
数Xの構造解析 その(2) 数の風景-48で、logの構造について見てきましたが、このlogの式 からも数Xの計算式を見出すことができます。 前回同様、いくつかのX値について、nの値が100、1000、10000の場合 についてこの式を計算し、この式から得…
数Xの構造解析 その(1) 数の風景-27 で見てきた自然対数の底 e の式から数Xの計算式 が導かれます。 いくつかのX値について、nの値が100、1000、10000の場合について この式を計算し、この式から得られた数値とX値との差を調べてみま した。 こ…
結局、なぞだらけの素数 いささか素数に食傷ぎみになってきました。 最後にX値を実数領域 まで拡張して考えてみます。 Xがeのn乗のとき、X以下の素数個数 比率はつぎのようにすっきりした分数形 1/(n-1) になります。 以上の関係からも、素数の…