ｍ番目の素数の値 ここでｍ番目の素数の値はどのように計算するのか、ちょっと考え てみます。 素数個数の関数Ｐ（ｎ）＝ｍとおいて、つぎのような手順でｍ番目の 素数を計算し、いくつかのｍ値について表示してみました。 上の表で「予測値」は④の計算結果…

素数の正体は （３） ここまで素数について考えてきたことをまとめてみます。 まず、正の整数Ｘに含まれる素数個数の推定式を Ｘ／（ ｌｏｇ Ｘ - 1） として、この式から素数個数のイメージを描いてみます。 ここで、Ｘ＝１０ から Ｘ＝１００００ までのい…

素数の正体は （２） ここまで見てきた中で （ｌｏｇＸ－１） の形の式が意外なところに顔を出して います。 それをつぎに整理してみます。 ＜素数個数関数＞ ＜直交座標系＞ ＜微積分連鎖＞ １次元 Ｘ／（ｌｏｇＸ－１） Ｘ Ｘ（ｌｏｇＸ－１） 基底次元 １…

素数の正体は （１） ここまで素数の累積個数についてあれこれ見てきたけれど、肝心の素数の 正体については迫ることができていません。もっとよく理解することはできない でしょうか。 前々回、素数個数推定値を Ｐ（ｎ）として、Ｐ（ｎ） ＝ ｎ／（ ｌｏｇ…

素数の近似式（４） 前回、自然数ｎまでの素数個数の推定値をＰ（ｎ）として Ｐ（ｎ） ＝ ｎ／（ ｌｏｇ ｎ - 1） について見てきました。しかし、これは究極の推定式ではないような気も します。そこで、誤差を小さくするべく試行錯誤の末、つぎの式にたど…

素数の近似式（２） 前回、素数の近似式として、ｎの（２／ｅ）乗なる式を見てみました。実は この式は自然数ｎが１０００を超える領域では誤差が急激に拡大してしま うことが判明しました。 ｎ＜１０００の領域ではかなり良い近似になっています。しかしそ…

素数の近似式（１） 前回までに素数定理の２つの計算、Ｘ／ｌｏｇＸ と Li（ｘ） から計算した値 は ｎ＜１０００ の範囲ではカウントした値 π（ｎ）に比べて数％～１０％ 程度離れた値になっています。１０の６乗を超える数の領域ではその 誤差は数％以下に…

素数定理（２） ここで前回とは別の方面から Ｌｉ(x) の値を計算してみます。 ｌｏｇＸ の ｌｏｇ を計算するという方法で計算してみます。 この計算式に基づいて計算してみました。 ここでの 計算結果は、前回の計算結果よりさらにＬｉ(x) に近い値となり …

素数定理（１） 素数については数の風景－７で触れていますが、その後も出てきたので もう少し詳しく見てみます。 １，２，３、･･・と数えていく自然数ｎの中に素数はいかにも気まぐれに存在 しているように見えますが、その増え方には一定の法則があると考…

オイラー定数（３） オイラー定数の値については前回計算しました。ここでは刻みをもっと 小さくして値がどうなるか調べてみます。 つぎの図は数の刻みの幅を１から ０．５、０．２、０．１ へと順次小さく していくことにより、その値がどのように変化して…

オイラー定数（２） 前回、オイラー定数にふれましたが、これはどういうものか少し立ち入って 調べてみます。 上の式にはΣの項がありますが、この項は １／１＋１／２＋１／３＋・・・ という分数の和になっています。これは調和級数と呼ばれている分数和 で…

オイラー定数（１） ｌｏｇＸのｎ階積分関数は「オイラー定数」というものと何か関係があるかも しれないという気もしています。 まずオイラー定数とはどんなものか、見てみましょう。 「オイラー入門」（Ｗ．ダンハム著）によると、オイラー定数γについて …

微積分の連鎖・・・素数成分との関係について 基底次元と１次元の関係についてさらに見ていきます。基底次元は１次元 の構成要素であるとも考えられます。そこで１次元の組み立てを見るために 基底次元で１次元を割ってみます。 <直交座標系> <微積分連鎖> 1…

微積分の連鎖・・・基底次元と１次元 前回、ｌｏｇＸ の積分関数に含まれる（）内の数式の意味を式が示す挙動 から探ってみましたが、いまひとつ腑に落ちません。 とりあえず、元に戻って Ｘ と Ｘ（ｌｏｇＸ－１） の値の変化をグラフで比べて みることにし…

微積分の連鎖・・・ｸﾞﾗﾌによる確認 微積分連鎖の関数は、一般に使われている各階の関数に（）内の式を掛 けた形になっています。（）内の式をどう解釈したらいいのでしょうか。 ここでは（）内の式が示す挙動について見てみます。式の内容をビジブルに つか…

微積分の連鎖 ｌｏｇＸ の積分を何度も繰り返しているうちに、（）内の－の分数に何らかの 規則性がありそうなので探してみました。そして積分階数と分数との間に つぎのような関係があることが分かりました。 この結果、微積分の流れはＸのプラスの指数から…

ｌｏｇＸの積分・・・上位階へ 前々回にＸの１階積分関数 Ｘ（ｌｏｇＸ－１） を導出しました。今回はこれを つぎのようにして２階積分関数を求めました。 同じ要領で３階積分関数、４階積分関数を求めました。それらの関数は つぎのようにまとめられます。 …

Ｘ vs Ｘ（ｌｏｇＸ－１） 数の風景－２６で、Ｘの０乗からの微分、ｌｏｇＸ からの積分の辺りで微積分の 連続性がよく分からなくなっていたので、ここで再度考えてみます。 前回の検討結果からｌｏｇＸ の積分形は ｙ＝1 の積分である ｙ＝Ｘ に （ｌｏｇＸ…

ｌｏｇ の構造 前々回までオイラーの公式のすごさを見てきました。ではそれに頼らなくても 微積分の連鎖が途切れないようにすることはできないのだろうかという疑問 が湧いてきます。ここからはそのことについて考えてみます。 まずその準備として、ｌｏｇ …

閑話休題（２） ここまで数の景色を眺めてきて、現実の世界とは一体何なのかとつい考えて しまいます。 目に見える世界が現実だとすると、地上の目に見える現象はほぼリアルタイム に伝わってくるからまあ現実だと受け入れられますが、それに加えて同時性が …

（１＋ｉ）の累乗の効果 前回、オイラーの公式の１階微分で、複素数の式本体に（１＋ｉ）が１つ掛かって くるという奇妙なことになりましたが、これはどのような効果をもたらすのでしょうか。その効果を探るため、図を交えて考えてみます。 微分１階に応じて…

オイラーの公式を用いた微積分の連鎖の検討（２） 前回、実数部指数ｕが定数の場合について考えましたが、今回はｕが１次変数の 場合について微積分を考えてみます。 関数 ｆ（ｕ）・ｇ（ｖ） の微分は ｆ’（ｕ）、ｇ’（ｖ）が ｆ（ｕ）、ｇ（ｖ）の微分関数…

オイラーの公式を用いた微積分の連鎖の検討（１） オイラーの公式を用いることにより、累乗根の計算で発生する虚数の問題は 解決しましたが、微積分の連鎖が途切れる問題はどうでしょうか。 ここではオイラーの公式を用いた複素数を２つの変数ｕ，ｖで表すこ…

オイラーの公式を用いた累乗、累乗根表示 ここで複素数 Ａ＋ｉＢ についてオイラーの公式を用いて累乗、累乗根を計算 してみます。 このように、オイラーの公式を応用することにより、無制限の種類の虚数の問題 は回避されました。計算結果を図に表せばつぎ…

オイラーの公式を用いた複素数表示 オイラーの公式には前にも触れましたが、ここではその公式を応用した複素数 表示について記述します。 実数部をＡ、虚数部をＢとして、Ａ，Ｂをそれぞれつぎのように表します。 このように、オイラーの公式を用いてｅの指…

ｘをｅのｔ乗で表す 数の風景－１０で、実数の複数回平方根をとるたびに別種の虚数記号が増え ていき収拾がつかなくなるのではと考えました。これについてはあとでじっくり 考えるとして、とりあえず多くの種類の虚数を封印する方法がないかどうか考え てみ…

閑話休題（１） 今回は一休みです。 ここで実数と虚数、＋と－について私のイメージを描写してみます。 ここには私の独断と偏見が充満していることをお断りしておきます。 それは真っ直ぐな１本道をてくてくと歩いている自分がいて、前には これから近づいて…

（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗＝ ｃｏｓ２θ＋ｉ ｓｉｎ２θ の確認（２） 今回は（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗の虚数部がｓｉｎ２θになることを 前回表示した図に基づいて確かめます。 このようにして（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗の虚数部がｓｉｎ２θにな…

（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗＝ ｃｏｓ２θ＋ｉ ｓｉｎ２θ の確認（１） 前回に続いて（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗が ｃｏｓ２θ＋ｉ ｓｉｎ２θとなる ことを確認していきます。確認作業はつぎの図を基に進めていきます。 ここではまず実数部について見て…

オイラーの公式 ｅ と Θ を見てきたので、この二つが出てくる式を見てみます。やはりここは 有名な「オイラーの公式」の出番でしょう。 ド・モアブルの定理とはつぎのようなものですね。 オイラーの公式導出の詳しい過程は「オイラー入門」（Ｗ．ダンハム（…