各虚数の整理と表示（３） 前回までの検討の結果、すべての虚数を（Ｒ＋ｉ）の形で表すことが できるようです。 ここでの数ａの表し方は αの平方根各回数の値に、それに応じた 各種の数を掛けた形になります。そして各種の数はすべて（Ｒ＋ｉ） の形で表すこ…
各虚数の整理と表示（２） 前回、各虚数 ｉ ｊ ｋ をＲ－ｉ座標表示しました。 ここで再度 ｋ 以上の すべての虚数についてつぎにまとめます。 以上の虚数を 数の風景－７６ で見てきた、数ａの平方根をとり続けて いく場合の虚数分類に対応してまとめてみま…
各虚数の整理と表示（１） 前々回、Ｘの3次方程式の解 ａ，ｂ，ｃ の値を求めましたが、その３つ の組合せを図で表すことはできないか検討してみます。そのためには 多くの虚数を整理して、表示だけでなく計算もできるだけ簡素化する 必要があります。 そこ…
高次方程式を解く（２） 今度はつぎのようなＸの４次方程式について見ていきます。 これが解 ａ，ｂ，ｃ，ｄ を持つとするとき、前回と同様の方法で展開式 を求め、その展開式は上の４次方程式に一致しなければなりません。 それには、各次数のＸの係数値お…
高次方程式を解く（１） このような虚数たちを気味悪がっているだけでは面白くありません。 そこでこれをうまく利用して高次方程式を解くことができないだろうかと 考え、まず３次方程式に取り組むことにしました。 つぎのようなＸの３次方程式の解はどうな…
数の風景－７９ 各虚数間の計算方法 ここまで見てきた中で、１の累乗根連続４回で８種類の数が現れ、その うち７種類が虚数です。それぞれに＋と－があるので、合計１６種類に 別れ、そのうち１４種類が虚数です。 ここで、これら１６種類の数の間での計算方…
多種類の虚数（３） 前々回、前回と 平方根や共役複素数をとり続けていくことにより、多く の虚数が現れてくる様子を見てきましたが、ここでは ｉ 以下のいろいろ な虚数について、それを累乗していくことでどのように変化していくかを 見てみます。 それぞ…
多種類の虚数（２） 前回、平方根をとり続けていくことにより、多くの虚数が現れてくる様子 を見てきましたが、共役複素数をとることによっても多くの虚数記号が 発生します。 共役複素数の関係式を用いて、つぎのように上位の虚数を下位の虚数 の積に分解す…
多種類の虚数（１） 数の風景－１０で、実数の平方根を複数回とるたびに別種の虚数記号 が増えていき収拾がつかなくなるのではと考えました。その後いろいろ 考えあぐねた末に、今ではそのような虚数の存在は無視できないのでは ないかと考えるに至りました…
閑話休題（３） 今回はお休みです。 宇宙についてのイメージトレーニングとして、いろいろな情報を自分なり に整理して「宇宙イメージ」を作ってみました。 下の図は、宇宙の形や大きさを表しているものではなく、私たちがいる 現在の宇宙と私たちが観測でき…
ζ（ゼータ）関数について この関数は１以上の全ての自然数を決まった値sで累乗し、それぞれの 逆数を足し合わせるものです。 一般にｓには複素数以下、全ての数が 適用されているようです。 ｓ＝１ の場合は、数の風景－５５で見てきたように ｌｏｇ∞ にオイ…
Γ関数について（３） 最後に指数関数を大顎で鋏んでみます。 前々回求めた「ｆ（ｘ）を鋏んだ場合の解」を使って再度計算してみます。 指数関数はさすがに頑丈で、大顎でも噛み砕くことはできませんでした。
Γ関数について（２） 前回、Γ関数の「大顎」の強力な分解力を見てきました。ここで試しに いくつかの関数を鋏んで計算してみます。 まず２次関数から つぎに３次関数を鋏んでみます。 この大顎の威力の源は何でしょうか。それはその構造を見れば分かり ます…
Γ関数について（１） ここでこれまでに出てきていないいくつかの関数についてみていきます。 Γ（ガンマ）関数はつぎのように表されています。 この関数は独特な性質を持っていて、Γ（ｚ＋１）＝ｚΓ（ｚ）という関係が あります。そこで複素数ｚを自然数ｎに…
数Ｘの構造解析 その（２） 数の風景－４８で、ｌｏｇの構造について見てきましたが、このｌｏｇの式 からも数Ｘの計算式を見出すことができます。 前回同様、いくつかのＸ値について、ｎの値が100、1000、10000の場合 についてこの式を計算し、この式から得…
数Ｘの構造解析 その（１） 数の風景－２７ で見てきた自然対数の底 ｅ の式から数Ｘの計算式 が導かれます。 いくつかのＸ値について、ｎの値が100、1000、10000の場合について この式を計算し、この式から得られた数値とＸ値との差を調べてみま した。 こ…
結局、なぞだらけの素数 いささか素数に食傷ぎみになってきました。 最後にＸ値を実数領域 まで拡張して考えてみます。 Ｘがｅのｎ乗のとき、Ｘ以下の素数個数 比率はつぎのようにすっきりした分数形 １／（ｎ－１） になります。 以上の関係からも、素数の…
ｍ番目の素数の値 ここでｍ番目の素数の値はどのように計算するのか、ちょっと考え てみます。 素数個数の関数Ｐ（ｎ）＝ｍとおいて、つぎのような手順でｍ番目の 素数を計算し、いくつかのｍ値について表示してみました。 上の表で「予測値」は④の計算結果…
素数の正体は （３） ここまで素数について考えてきたことをまとめてみます。 まず、正の整数Ｘに含まれる素数個数の推定式を Ｘ／（ ｌｏｇ Ｘ - 1） として、この式から素数個数のイメージを描いてみます。 ここで、Ｘ＝１０ から Ｘ＝１００００ までのい…
素数の正体は （２） ここまで見てきた中で （ｌｏｇＸ－１） の形の式が意外なところに顔を出して います。 それをつぎに整理してみます。 ＜素数個数関数＞ ＜直交座標系＞ ＜微積分連鎖＞ １次元 Ｘ／（ｌｏｇＸ－１） Ｘ Ｘ（ｌｏｇＸ－１） 基底次元 １…
素数の正体は （１） ここまで素数の累積個数についてあれこれ見てきたけれど、肝心の素数の 正体については迫ることができていません。もっとよく理解することはできない でしょうか。 前々回、素数個数推定値を Ｐ（ｎ）として、Ｐ（ｎ） ＝ ｎ／（ ｌｏｇ…
素数の近似式（４） 前回、自然数ｎまでの素数個数の推定値をＰ（ｎ）として Ｐ（ｎ） ＝ ｎ／（ ｌｏｇ ｎ - 1） について見てきました。しかし、これは究極の推定式ではないような気も します。そこで、誤差を小さくするべく試行錯誤の末、つぎの式にたど…
素数の近似式（３） 素数の近似式として取り上げた ｎの（２／ｅ）乗 は自然数ｎが１０００を 超える領域では誤差が急激に拡大してしまうという、致命的な欠陥が みつかりました。そこでもっと大きいｎの領域でも精度の良い近似式は ないか検討してみるべく…
素数の近似式（２） 前回、素数の近似式として、ｎの（２／ｅ）乗なる式を見てみました。実は この式は自然数ｎが１０００を超える領域では誤差が急激に拡大してしま うことが判明しました。 ｎ＜１０００の領域ではかなり良い近似になっています。しかしそ…
素数の近似式（１） 前回までに素数定理の２つの計算、Ｘ／ｌｏｇＸ と Li（ｘ） から計算した値 は ｎ＜１０００ の範囲ではカウントした値 π（ｎ）に比べて数％～１０％ 程度離れた値になっています。１０の６乗を超える数の領域ではその 誤差は数％以下に…
素数定理（２） ここで前回とは別の方面から Ｌｉ(x) の値を計算してみます。 ｌｏｇＸ の ｌｏｇ を計算するという方法で計算してみます。 この計算式に基づいて計算してみました。 ここでの 計算結果は、前回の計算結果よりさらにＬｉ(x) に近い値となり …
素数定理（１） 素数については数の風景－７で触れていますが、その後も出てきたので もう少し詳しく見てみます。 １，２，３、･･・と数えていく自然数ｎの中に素数はいかにも気まぐれに存在 しているように見えますが、その増え方には一定の法則があると考…
オイラー定数（３） オイラー定数の値については前回計算しました。ここでは刻みをもっと 小さくして値がどうなるか調べてみます。 つぎの図は数の刻みの幅を１から ０．５、０．２、０．１ へと順次小さく していくことにより、その値がどのように変化して…
オイラー定数（２） 前回、オイラー定数にふれましたが、これはどういうものか少し立ち入って 調べてみます。 上の式にはΣの項がありますが、この項は １／１＋１／２＋１／３＋・・・ という分数の和になっています。これは調和級数と呼ばれている分数和 で…
オイラー定数（１） ｌｏｇＸのｎ階積分関数は「オイラー定数」というものと何か関係があるかも しれないという気もしています。 まずオイラー定数とはどんなものか、見てみましょう。 「オイラー入門」（Ｗ．ダンハム著）によると、オイラー定数γについて …
