数の風景－４０

　ｘをｅのｔ乗で表す

　数の風景－１０で、実数の複数回平方根をとるたびに別種の虚数記号が増え
　ていき収拾がつかなくなるのではと考えました。これについてはあとでじっくり
　考えるとして、とりあえず多くの種類の虚数を封印する方法がないかどうか考え
　てみます。　まず、数Ｘをｅの指数で表すことで、２乗の繰り返しと平方根の繰り
　返しを行ってみて、この問題がどうなるか見てみます。

　やはり同じように別種の虚数マークが際限なく増えていきます。
　考えてみれば当前のことで、Ｘを単にｅの指数に切り替えただけでは実数ａと同じ
　ようにｅの前にいろいろな虚数マークが現れてくるだけです。

　この問題の解決には「オイラーの公式」に頼らざるをえないのではないでしょうか。
　実数Ｘまたはそれを含む複素数をｅの指数に変換した後、「ｅも含めてまるごと」
　平方根をとるのではなく、その平方根を「ｅの指数に対して」とることにより、計算
　結果もｅの指数の世界に留まらせようとするのです。また、ド・モアブルの定理も
　ｅの指数の計算の範疇に入ると考えます。

数の風景－３９

　閑話休題（１）

　今回は一休みです。
　ここで実数と虚数、＋と－について私のイメージを描写してみます。
　ここには私の独断と偏見が充満していることをお断りしておきます。

　それは真っ直ぐな１本道をてくてくと歩いている自分がいて、前には
　これから近づいてきて自分の足元に来る道、後ろには通り過ぎて遠
　ざかっていく道が続いているような世界です。
　数の世界ではこれから通る道が＋の数、通り過ぎてきた道が－の数、
　そして左右に見える景色は虚数ｉの世界です。－や虚数ｉの世界はこれ
　から実現することはできない世界です。
　実は道は１本でなくてもよく、地平線まで広がる大草原でもいいのです。
　今ここを歩いている自分が向かっている正面の一直線が＋です。
　そして後ろの正面から伸びる一直線が－です。常に自分の足元が０で
　線の手前が小さい数、先の方が大きい数になります。そしていつも左右
　の景色は ｉ の世界です。右の一直線が－ｉ の世界、左の一直線が＋ｉ
　の世界となります。

　通り過ぎてきたところが恋しくなって引き返し始めた瞬間にその道は＋
　となり、これまでの＋の道は－の世界への道となるでしょう。
　そしてたどりついた元のところは、自分が通り過ぎてきたのは確かだけれ
　ど、それは隔絶された過去の世界の出来事であり、現在に引き戻すこと
　はできません。
　－の世界と同様、±ｉ の世界もこのままでは実現できません。右の景色に
　惹かれて右へ向かい始めた瞬間、その景色は＋の世界となり、そこへの
　道は＋の道となります。
　じっとしてただ周りを見回しているだけでは過去の情報が景色となって
　目に入ってくるだけです。いわば四方を過去（－）に取り囲まれている
　ような状況です。じっと立ち止まっているのではなく動き出すことで＋の
　世界が開けてくるでしょう。

数の風景－３８

　（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗＝ ｃｏｓ２θ＋ｉ ｓｉｎ２θ　の確認（２）

　今回は（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗の虚数部がｓｉｎ２θになることを
　前回表示した図に基づいて確かめます。

　このようにして（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗の虚数部がｓｉｎ２θになる
　ことが確認されました。

　以上、長々と見てきましたが、これはつぎの「三角関数の加法定理」
　において、α＝β＝θとおいた場合に相当します。

　　加法定理　　　ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｓｉｎβｃｏｓα
　　　　　　　　　ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ

　こう見てくると、オイラーの公式やド・モアブルの定理は、三角関数の
　加法定理をうまく使って複素数の表示や数値計算体系を構築している
　とも見えます。

数の風景－３７

　（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗＝ ｃｏｓ２θ＋ｉ ｓｉｎ２θ　の確認（１）

　前回に続いて（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗が ｃｏｓ２θ＋ｉ ｓｉｎ２θとなる

　ことを確認していきます。確認作業はつぎの図を基に進めていきます。

　ここではまず実数部について見ていきます。

　このようにして（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗の実数部がｃｏｓ２θになることが
　確認されました。

数の風景－３６

　オイラーの公式

　ｅ と Θ を見てきたので、この二つが出てくる式を見てみます。やはりここは
　有名な「オイラーの公式」の出番でしょう。

　ド・モアブルの定理とはつぎのようなものですね。

　オイラーの公式導出の詳しい過程は「オイラー入門」（Ｗ．ダンハム（著））
　などで紹介されています。

　ド・モアブルの定理から（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗は ｃｏｓ２θ＋ｉ ｓｉｎ２θ
　となることが分かります。ここでは（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）の２乗の展開式と
　図解とを用いてこれを確認していきます。

　２乗の展開式は上のようになりますが、この実数部がｃｏｓ２θに、虚数部が
　ｓｉｎ２θになるかどうか次回から見ていきたいと思います。

数の風景－３５

　微小三角形を素にして円周と円の面積を求める

 　前回、「πの素」の模式図を書いてみましたが、これから直ちに円周と円の
　面積が求められます。ここでは半径を ｒ として計算します。

　このように見てくると、実数の世界のすべては直線上に詰まっているような
　気がしてきます。そしてｓｉｎΘ、ｃｏｓΘの対は実数の数直線から外れる数を
　表しており、ｓｉｎΘは外れ成分の数の大きさ、ｃｏｓΘは実数の数直線上に
　垂直に投影される成分の数の大きさを表しているように思えてきます。

数の風景－３４

　分割数を∞に近づけていくと πの素 はどうなる（２）

　ここでは「∞に近づけたｎ値」のことを「ｎ→∞」と表現します。
　数の風景－３２　で分割数が増えるにつれて πの素（Π） の値がどんどん小さく
　なっていくのを見てきました。そして分割数ｎ→∞の極限状態では０になっている
　かもしれません。
　しかしここでちょっと考えてみてください。半径１の長さをｎ→∞分割するとやはり
　０に近づいていきますが、その分割された小さな１辺に同じｎ→∞を掛ければ
　結果は１になるのは明白です。とすると分割数ｎ→∞で極限状態の０になって
　いるはずの πの素 は厳密には０ではないのではないかという疑問が生まれて
　きます。というのも、このπのｎ→∞分割値（πの素）をｎ→∞倍すればπという
　値になるからです。
　そこで前回見てきた、「角度Θを限りなく０に近づけていくと、ｓｉｎΘはΘに

　どんどん近づいていき、ついにはΘに等しくなっていく」という結論の出番です。
　私はこの結論は「条件付きで正しい」と考えます。πをｎ→∞分割した１辺をｎ→∞
　倍すればπの長さになります。図で表せばつぎのようになります。

　図でΘのｎ→∞分割のｎ→∞倍と、半径１のｎ→∞分割のｎ→∞倍を表してみま
　した。たしかにπは半径のπ倍の長さになっています。しかし円弧にはなってい
　ません。
　私は円弧を本当に再現させるための本当の「πの素」は、ｓｉｎΘのｎ→∞分の１
　でなければならないし、いくら分割してもｓｉｎΘはΘにはならないと考えます。　
　専門的にいえば、「Θ→０でｓｉｎΘ→Θ」はスカラー（数だけの世界）では正し

　く、ベクトル（数だけでなく位相・方向も含む世界）では正しくないということ

　でしょうか。
　結局、極限の「πの素」の正体は目に見えるものではありませんが、下の模式図
　のように表される微小三角形ではないでしょうか。