徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-34

 分割数を∞に近づけていくと πの素 はどうなる(2)

 ここでは「∞に近づけたn値」のことを「n→∞」と表現します。
 数の風景-32 で分割数が増えるにつれて πの素(Π) の値がどんどん小さく
 なっていくのを見てきました。そして分割数n→∞の極限状態では0になっている
 かもしれません。
 しかしここでちょっと考えてみてください。半径1の長さをn→∞分割するとやはり
 0に近づいていきますが、その分割された小さな1辺に同じn→∞を掛ければ
 結果は1になるのは明白です。とすると分割数n→∞で極限状態の0になって
 いるはずの πの素 は厳密には0ではないのではないかという疑問が生まれて
 きます。というのも、このπのn→∞分割値(πの素)をn→∞倍すればπという
 値になるからです。
 そこで前回見てきた、「角度Θを限りなく0に近づけていくと、sinΘはΘに

 どんどん近づいていき、ついにはΘに等しくなっていく」という結論の出番です。
 私はこの結論は「条件付きで正しい」と考えます。πをn→∞分割した1辺をn→∞
 倍すればπの長さになります。図で表せばつぎのようになります。

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 図でΘのn→∞分割のn→∞倍と、半径1のn→∞分割のn→∞倍を表してみま
 した。たしかにπは半径のπ倍の長さになっています。しかし円弧にはなってい
 ません。
 私は円弧を本当に再現させるための本当の「πの素」は、sinΘのn→∞分の1
 でなければならないし、いくら分割してもsinΘはΘにはならないと考えます。 
 専門的にいえば、「Θ→0でsinΘ→Θ」はスカラー(数だけの世界)では正し

 く、ベクトル(数だけでなく位相・方向も含む世界)では正しくないということ

 でしょうか。
 結局、極限の「πの素」の正体は目に見えるものではありませんが、下の模式図
 のように表される微小三角形ではないでしょうか。

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数の風景-33

分割数を∞に近づけていくと πの素 はどうなる(1)

  ここからはnを分割回数ではなくて図のようにπの分割数nとして考えていきます。
 分割された扇形に対応する三角形は向かい合う2つの直角三角形に分割され
 ますが、その直角三角形の原点部の角度は分割数nが大きくなるほど0に近づい
 ていきます。この角度はπ/2nですが、これをΘとしたとき分割数nが大きくなる
 ほどΘは0に近づいていきます。
 角度Θを限りなく0に近づけていくと、sinΘはΘにどんどん近づいていき、つい
 には等しくなっていくとされていますが、これはつぎのように説明できます。

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 角度Θを限りなく0に近づけていくとsinΘとΘは等しくなっていくことが確かめられ
 ました。 となれば、cosΘはつぎのようになります。

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 ここで根号の中を見ると、1-(Θの2乗)となっています。Θはπ/2nだから
 (Θの2乗)は((π/2n)の2乗)であり、n→∞で0×0となります。もうこれは0
 とみなして差し支えないでしょう。結局、πのn→∞分割でcosΘは1に収束する
 ということになります。

 

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数の風景-32

 「πの素」

 前回、πの2分割スタートとπの3分割スタートを比較してみましたが、どちらも

 分割10回で小数点以下5桁までの精度が得られました。ちなみに2分割10回は

 2の10乗で1024分割になります。最初だけ3分割の場合は3×(2の9乗)

 で1536分割 になります。

 3分割スタートの式と2分割スタートの式とを比べてみると、どちらも四角枠の値

 に1回目分割数と2回目以降の分割数を掛けています。ここで注意するべきは2回

 目以降の分割数2の(n-1)乗はどちらも同じことです。これは分割数が大きく

 なるにつれ、四角枠の値に1回目分割数を掛けた両者の値がどんどん近づいてい

 き、ついにはほぼ同じ値になることを示しています。

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 四角枠の中を「πの素」と名付けてΠで表しましょう。右下の添え字3は3分割スタ
 ート、2は2分割スタートを表しています。
 3分割スタートの「πの素」と2分割スタートの「πの素」の比の値は2/3に収束して

 います。

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 分割回数 n=15 付近で2つのΠの比の値はほぼ収束しているように見えます。
 そこで分割回数 n=15でπの値を計算してみたところ、かなり精度良い値が得られ
 ました。

 

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数の風景-31

  πの計算(2)

 数の風景-28 πの計算(1) の続編として今度はπの3分割からスタートして
 同様の方法でπ値を計算してみました。途中は省略しますが、n回分割後の計算
 式はつぎのようになりました。

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 前回の2分割スタートと今回の3分割スタートの計算値を同じ分割回数で比較して
 みます。

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 πの計算はeの場合に比べて収束性が良く、いずれもn=10で小数点以下5桁
 まで真値に一致しました。3分割スタートの方が少し精度が良いようにも見えますが
 大差はないようです。


 

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数の風景-30

 円周角

 三平方の定理を見てきたので今度は円周角について見ていきましょう。

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 図で下辺ABが同じなら、点Cが円周上のどこにあってもその角度θの大きさは
 変わらないというのが円周角の特性ですね。今度はこれを確かめてみましょう。
 またθの求め方にも挑戦してみます。

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 今度は円周角に関係なく、線分ABの長さと、線分ABとA点から円の中心Oへ向
 かう直線とがなす角度∠OABの値が分かっているとき、円の半径rと 線分ABと
 円の中心との距離dの値を求めてみます。

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数の風景-29

 三平方の定理ピタゴラスの定理

 

 前回のπの計算には三平方の定理を使っていますが、この定理はつぎのように
 表されています。

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 この定理について証明をしてみます。
 まず直角の2つの隣辺と斜辺をそれぞれ2乗して三角形の外側に3つの正方形
 を作ります。そして2つの隣辺から作った正方形を下図の矢印の方向に回転させ
 斜辺で作った正方形に重ね合わせます。 ここから証明スタートです。

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数の風景-28

 πの計算(1)

 前回eを見たので今度はπを計算してみましょう。πは半円と半径の長さの比、
 つまり π=(半円の長さ)/(半径) なのでそれを計算してみます。
 下図の半径1の半円の長さはπですが、それを2分割して両端が円周と交わる
 直線を引き、その2つの直線の長さを合計します。つぎにそれぞれの角度を2分
 割して同じように直線を引き、その直線の長さを計算し、4本の長さの合計を
 計算します。同じ要領でどんどん角度を2分割して1本の直線の長さを短くして
 いき、円周に近づけながら合計の長さを計算していきます。 そしてn回分割後
 の計算式が求められます。

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 分割回数nが小さい場合は、πの真値からずれた値が出てきますが、n値が大
 きくなるにつれて真値に近づいていきます。

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