徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-19

関数  その(4)

 三角関数
 図のような直角三角形があり、1つの角度がΘのとき、つぎのように三角
 関数として表されます。
   sinΘ=隣辺2/斜辺   cosΘ=隣辺1/斜辺

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 ここで X=cosΘ Y=sinΘ として、Xを横軸に、Yを縦軸にして角度Θ
 の変化に伴う変化をプロットしていくとつぎのようになりますね。

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 Θを変数として、XとYの関係を図にしてみると、つぎのようになります。

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 上の図は半径 r=1の円になりましたが、ここで半径 rを r=Θとして半径の
 大きさもΘに比例して(ここでは比例定数=1)変化するとき、どんな図形に
 なるか見てみます。

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 円ではなく、渦巻きが現れました。

 

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 前回の答え

 答えは、対数関数の X の値がそれと対称な指数関数のYの値になるので、
 つぎのようになります。
  Y=eの2乗=7.389

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数の風景-18

関数  その(3)


 指数関数
 指数関数は通常、自然対数の底eの指数を変数xとして、つぎのように
 表されています。

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 指数関数eのx乗は、微分積分をしてもその関数の形が全く変わらず、eの
 x乗のままであるという特別なものですね。
 その特別な数 e の値は e = 2.7182818・・・ となっています。 

 

 対数関数
 ここでは対数はすべてeを底とする自然対数とします。対数関数はつぎの
 ように表されていますね。
  Y=log X
 底eは必要に応じlogとXの間に小さく書かれますが、通常省略されるかlnと
 書かれていますね。
 対数関数は上の指数関数と密接な関係にあって、つぎのようにXとYを交換
 すればその式は上の指数関数と全く同じ関係を意味します。
  X=log Y
 一般にXとYを交換した2つの式は Y=X という直線を中心線として対称に
 なります。つまり直線X=Yを鏡として相手の関数を鏡に映る自分の姿として
 見ています。

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 ここで問題です

 対数関数(底をeとする)Y=log X の値が Y=2 のとき、Y=X という直線を
 中心として対称な指数関数のYの値はどうなりますか。

   答えは次回ブログで

 

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数の風景-17

関数  その(2)


 文字式の計算
 計算は原則()の中を先に計算しますが、つぎのように展開して計算する
 こともできますね。
 (a+b)+(c+d)=a+b+c+d
 (a-b)-(c-d)=a-b-c+d
 (a+b)×(c+d)=a×(c+d)+b×(c+d)=ac+ad+bc+bd
 (a-b)/(c-d)=a/(c-d)-b/(c-d)
  
 ここで、実社会における関数応用の事例を考えてみます。
 生鮮食料品の販売店で、ニンジン1本の仕入れ値が80円、販売価格が
 120円としたとき、売れ行きが伸びずこのままではかなりの売れ残りが
 見込まれるので、値引きをすることにしました。ちなみに、これまでの
 経験から値下げ率の倍の販売数量、たとえば10%の値引きで20%の
 販売増が見込まれるとします。
 値引率をa%としたとき、利益gはどのように表されるでしょうか。

 まず、定価Pでの販売量を1として定価販売での利益Gを計算してみます。
  G=1×(120-80)=40
 値引率a(%)での販売量は (1+2a/100)、 1本当りの利益は
 (120(1-a/100)-80)となるので、値引率a(%)での利益gは
  g=(1+2a/100)×(120(1-a/100)-80)
   =(1+0.02a)(40-1.2a)
 このように値引率aの2次関数となります。 
 この関数gの変化の様子をグラフにしてみると、つぎのようになります。

 

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 この結果によると、値引きによる販売量増で利益が増えることはありま
 せん。しかし販売量増によって商品をスムーズに捌くことができますね。

 

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数の風景-16 

関数  その(1)

 前回、果物の数を管理するのにリンゴをA、ミカンをO、ナシをPとして、3つの
 ダンボールで管理する例を考えました。
 ここでA,O,Pを単に数だけでなく、仕入費合計Tc、売上合計Tsとして管理する
 ことを考えます。
 仕入費については、それぞれの仕入れ単価をCa、Co、Cpとして、Ac=A×Ca
 Oc=O×Co Pc=P×Cp とし、合計値をTcとして、Tc=Ac+Oc+Pc 
 とします。 ここでAc Oc Pc Tc はすべて関数です。それに対してリンゴの
 数A、ミカンの数O、ナシの数Pは変数です。これが文字通り時々刻々変わって
 いくわけですから、それをもとに計算されたそれぞれの関数の値も 次々刻々
 変わっていきます。
 売上合計Tsについても同じ要領で関数を作っていき、うまく利用して商品管理や
 経営の参考資料などに使うこともできますね。

 n次関数
 以上は自然数をもとにした関数でしたが、実数の関数もいろいろありますね。
 ここでは変数XとYがあり、YはXの関数であるとします。
 まずY=X+2のようにXの1乗のときYはXの1次関数、YがXの2乗の関数の
 ときYはXの2次関数、そしてYがXの3次関数、4次関数・・・といろいろあり、
 それをまとめてXのn次関数と呼びましょう。
 nは1から∞の間の自然数の場合とn=0の場合があります。n=0の場合は
 Xの値が何であろうとY=定数となります。また通常Xのn次の関数には(n-1)
 次以下の低次の項も付随しています。 

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 -n次関数
 nの値が-1から-∞の間の負の整数の場合もありえますが、一般には 
 -n次関数などという表現はあまり見かけません。これは+n次の関数を
 分数の分母に持ってくることでわざわざXの負の高次関数というものを作る
 必要がないということだと思うのですが・・・。

 

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 前回の答え

  答えは実績の値にぴったりの文字式を表せばいいので、つぎのように
 なります。
  釣れる魚の数F、重量G(単位:g)として  F=500/G

 

数の風景-15

 文字数、文字式

 文字は数字ではありませんから文字そのもので計算できるわけではなくて、
 これはたとえば果物を入れるダンボール箱みたいなものですね。そのダン
 ボール箱には文字が書いてあり、リンゴと書いてあればリンゴしか入れること
 ができません。リンゴをA、ミカンをO、ナシをPとして、それぞれ箱を用意し、
 箱の中の果物の数を管理するとします。AやOやPの数は時々刻々と変化
 します。

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 合計数をTとしてT=A+O+Pとしておき、その時々のAとOとPの数を
 その文字に置き換えてやれば合計数が出てきます。
 このAやOやPは文字数、T=A+O+P は文字式です。

 

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 ここで問題です

 堤防釣での過去の釣果から、50gの魚は平均10匹、、100gは平均5匹、
 200gは平均2.5匹、500gは平均1匹の結果が得られたとします。
 魚の重量Gと釣れる数Fとの関係を表す文字式はどうなりますか。


   答えは次回ブログで

 

数の風景-14

 黄金比 その(3)

 黄金比は自然界にもいろいろなところに隠されているとか。そこで自分も
 まわりの自然を探してみていくつかそれらしいものを見つけました。その
 1例として海辺に生えている植物(下の写真)の成長のパターンを数値化
 して調査してみました。

 

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 茎の先端から葉っぱが出ている箇所(ここを第1節)までの長さを測り、つぎに
 第1節からつぎの第2節までの長さ、さらに第2節から・・・とつぎつぎに測定
 していきます。10本の測定結果から平均値を出して、そこから「節間隔比」と
 「成長指数」を求めてみました。
 「節間隔比」は第1節と第2節の間隔を先端から第1節までの間隔で割り、節
 間隔比1とします。この要領で節間隔比2、3、4、・・・と計算していきます。
 「成長指数」は、節間隔比1を節間隔比2で割って成長指数1とします。この
 要領で成長指数2、3、4、・・・と計算していきます。

 

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 その値をグラフ化してみました。ちょっとこじつけ感はありますが、少なくとも
 この測定結果においては、先端に近いほど成長指数が黄金比に近い値に
 なっていることが確認されました。いろいろな植物についてこのようなデータ
 を調べて比較してみるのも面白いかもしれません。

 

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数の風景-13

 

 黄金比 その(2)

  多重根号の式からつぎのような方程式が導かれます。

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  また黄金比とその対の値の関係はつぎのように美しい関係が見られます。

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 前回の答え

  答えの1例です。
  
   黄金比=1+1/黄金比

  これは連分数を方程式に置き換えることで導かれます。

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