徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-47

 閑話休題(2)


 ここまで数の景色を眺めてきて、現実の世界とは一体何なのかとつい考えて
 しまいます。
 目に見える世界が現実だとすると、地上の目に見える現象はほぼリアルタイム
 に伝わってくるからまあ現実だと受け入れられますが、それに加えて同時性が
 現実の条件だとすると、空に見える太陽や月や星々の姿は現実のものといえる
 でしょうか。
 地球と月との距離は約38万km、地球と太陽との距離は約1億5千万km、光
 の速度は秒速 約30万kmだから、地球上の私たちが見る月は約1.3秒過去
 の姿、太陽は約500秒つまり約8分20秒過去の姿ということになります。つまり
 厳密には月や太陽の姿は現実のものではないということになります。
 まして夜空に輝く何光年、何万光年もの距離にある星々の瞬きは何年も、何万
 年も過去の姿になります。

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 ここで発信と受信の2つの面で考えてみます。まず受信は天文台で宇宙観測
 しているような状況です。望遠鏡で見える宇宙は遠方ほど遠い過去の出来事
 になります。これは遠い宇宙に視点の中心を移せば、そこで発生した出来事の
 情報が私たちの地球に届いてそのことに私たちが気づくのに長い時間がかかる
 ということだから、私たちは遠い宇宙より相当遅れた時間帯に住んでいることに
 なります。
 一方、発信の面では、たとえば甲子園球場のナイター設備のライトが今、点灯
 したとします。するとその光はノイズにかき消されなければ約1.3秒後に月の
 表面から、約8分20秒後に太陽までの距離付近から、何万年か後に何万光年
 も離れた天体から観測されるでしょう。つまり、ライトの点灯に限っては甲子園
 球場が時間の先端にあることになります。
 ごく当たり前のことなのに発信と受信を総合したときになんだか不思議な感覚に
 陥ってしまいます。このような世界での微積分はひょっとするとオイラーの公式
 の微積分のように頭の中ではちょっと理解できないような奇妙なことになるの
 かもしれません。

 

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数の風景-46

 オイラーの公式 ・・・ 微積分の効果

 ここまで、実数部指数uが定数の場合とuが1次変数の場合について微積分を考え
 てみました。
 uが定数の場合は微積分のたびに、微分では位相がπ/2 だけ進み、積分では
 π/2 だけ遅れていくことが確認されました。
 uが1次変数の場合は、微分では位相がπ/4 だけ進み、積分ではπ/4だけ
 遅れていくとともに、振幅の変化も現れます。位相と振幅に与えられるこのような
 効果は、つぎの図のようにまとめられます。実線で表される円に対して微分または
 積分を行うごとに点線の矢印で表される効果が与えられます。

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  uが1次変数の場合は、微分のたびに位相がπ/4 進むとともに、振幅も増加して
 いきます。そして無限回の微分では振幅は無限大になっていくようです。
 逆に積分の場合は、積分のたびに位相がπ/4 遅れるとともに 振幅は減少し、
 際限なく0に近づいていきます。 なんだか不思議な感じですが。

 

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数の風景-42でオイラーの公式を用いた累乗、累乗根計算での動きを、またここで
微積分の計算での動きを見てきました。 まとめると、累乗、累乗根計算で無制限に
発生する虚数の問題や、微積分の計算でその連鎖が途切れる問題については回避
できる可能性を見出すことができました。
まだまだこの奥には想像を超える世界が広がっているでしょう。

 

 

 

 

 

 

 

 

数の風景-45

(1+i)の累乗の効果


 前回、オイラーの公式の1階微分で、複素数の式本体に(1+i)が1つ掛かって
 くるという奇妙なことになりましたが、これはどのような効果をもたらすのでしょうか。その効果を探るため、図を交えて考えてみます。
 微分1階に応じて(1+i)が1個掛けられる関係を図にしてみるべく、(1+i)を cos v+i sin v に掛けてグラフに表示してみました。
 これをみると、つぎのように実数部、虚数部ともに位相が +π/4 だけシフトして
 いることがわかります。

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 このように微分のたびに位相がπ/4 だけ進んでいきます。また変化の大きさを
 表す振幅は微分のたびに大きくなっていきます。
 積分の場合は微分とは逆に、階を重ねるごとに位相が π/4 だけ遅れていき
 ます。また振幅は積分のたびに小さい値に収束していくようです。

 

 

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数の風景-44


 オイラーの公式を用いた微積分の連鎖の検討(2)


 前回、実数部指数uが定数の場合について考えましたが、今回はuが1次変数の
 場合について微積分を考えてみます。
 関数 f(u)・g(v) の微分は f’(u)、g’(v)が f(u)、g(v)の微分関数である
 とき、 f’(u)・g(v)+f(u)・g’(v) となる関係を利用して

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 このようにオイラーの公式を用いた複素変数について微積分を行うことにより、
 微積分の連鎖が途切れないようにすることができました。
 
 しかしオイラーの公式微積分は、これまでの微積分のイメージと全く異なって
 います。実数の式では積分は曲線y=f(x)がy=0の線との間に作る面積を、
 微分は曲線f(x)の傾きの変動を表します。しかし、ここに見る複素数微積分は、
 複素数の式本体には変化がなく、eの実数部指数が1次の変数uで虚数部指数が
 +iv であるとき、微分を1回するたびに(1+i)が1つ掛かってくる、逆に積分を1回
 するたびに1/(1+i)が1つ掛かってくるという奇妙なことになりました。
 

 

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数の風景-43


 オイラーの公式を用いた微積分の連鎖の検討(1)

 

 オイラーの公式を用いることにより、累乗根の計算で発生する虚数の問題は
 解決しましたが、微積分の連鎖が途切れる問題はどうでしょうか。
 ここではオイラーの公式を用いた複素数を2つの変数u,vで表すことにします。

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 この式の変数u,vについて微分積分を考えてみます。 まず実数部指数uが
 変数ではなく定数の場合について考えてみます。
 eの虚数部指数が+iv であるとき、三角関数表示は cos v+i sin v
 となるから、その微分の式は-sin v+i cos vとなります。
 ここで、-sin v = cos(v+π/2)、cos v = sin(v+π/2)なので

 微分後の式は cos(v+π/2)+i sin(v+π/2) となります。

 eの虚数部指数が-iv であるとき、その微分後の式は

 cos(v+π/2)-i sin(v+π/2)となります。

 このような計算の結果はつぎのようにまとめられます。

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 これをグラフ表示してみると、虚数部指数が+iv であるとき+方向 に、-iv で
 あるとき-方向に、微分のたびに実数部、虚数部ともにπ/2 だけシフトして
 いくことがわかります。

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 積分の場合は微分の逆だから、積分のたびに位相が 逆方向にπ/2 だけシフト
 していくことが容易にわかります。

 

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数の風景-42

 オイラーの公式を用いた累乗、累乗根表示

 ここで複素数 A+iB についてオイラーの公式を用いて累乗、累乗根を計算
 してみます。

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 このように、オイラーの公式を応用することにより、無制限の種類の虚数の問題
 は回避されました。計算結果を図に表せばつぎのようになります。

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 累乗の場合は、2乗のときは角度Θが2Θに、その2乗は角度が4Θにと
 いうふうに、角度がどんどん大きくなっていきます。逆に累乗根の場合は、
 1/2乗のときは角度ΘがΘ/2に、その1/2乗は角度がΘ/4にという
 ふうに、角度が0に向かってどんどん小さくなっていきます。角度だけでなく
 辺の長さも変化します。aが1を超えるとき、累乗を重ねるほどに辺の長さは
 大きくなっていきます。逆に累乗根の場合は辺の長さはどんどん小さくなって
 いき、最終的にはeの0乗つまり1に収束します。

 

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数の風景-41

 オイラーの公式を用いた複素数表示


 オイラーの公式には前にも触れましたが、ここではその公式を応用した複素数
 表示について記述します。
 実数部をA、虚数部をBとして、A,Bをそれぞれつぎのように表します。

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 このように、オイラーの公式を用いてeの指数上で複素数の計算を行います。
 そうすることで、計算結果をeの指数の世界に閉じ込めてしまう効果があり、そこ
 で扱われる数の世界の全体は実数+虚数iの世界からはみ出すことがなくなる
 のではないでしょうか

 

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