徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-89

 3次方程式解(数の風景-80)を(R+i)形へ


 Xの3次方程式の解 a,b,c の3つの組合せを図で表すことを目標に、
 数の風景-82から前回まで、多種類の虚数の表示と計算について
 整理してきました。
 やっとその作業が終わったので、解 a,b,c の値をR-i座標上に表し
 てみます。
 まず、その準備として虚数±ij、±j を(R+i)形に変換します。

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 これを方程式の解a,b,cの式に代入して計算します。

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 このように、すべての解を(R+i)形で表すことができました。
 この計算結果が正しいかどうかは、解をXの3次方程式に入れて
 式が成り立つかどうかで確認できます。
 数の風景-80の式②に解の組a,b,cを代入し、それが式①の
 左辺になることが確認できればokです。

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 各解に問題ないことが確認されました。
 ここでXの3次方程式の解 a,b,c の値を図で表示してみます。
 

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 解a,b,cの6つの組のいずれもがR-i座標上の3点(i,-1,-i)で
 構成されていることがわかります。

 

 

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 訂正:します

オイラー定数刻み幅を小さくする計算式

 数の風景-57で、オイラー定数に関する計算式において、刻み幅
 を小さくする計算式に、刻み幅を掛ける表示が抜けていました。
 お詫びして訂正させていただきます。
 なお計算のスタートはn=1からなので、刻み幅を小さくする場合、
 実質の計算スタートは0からではなく、(1-刻み幅)からのスタート
 となります。

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数の風景-88

 各虚数の整理と表示(7)

 虚数記号での計算結果と(R+i)形での計算結果の間に矛盾が発生
 しなければ、両者は何の制限もなく相補的に計算可能となります。
 これまでの検証結果では矛盾は発生せず、両者は制限なく相補的に
 計算可能といえるようです。
 そこで事例による確認として、数の風景-79で各虚数のランダムな
 加減乗除虚数記号で行った[計算例1]から[計算例4]の結果に
 ついて、各虚数を(R+i)形に変換して計算した結果と一致するかどう
 かを見てみます。
 各種の数に対応する(R+i)形の値はつぎのようになります。

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 検証の方法は、元の式(1行目)と虚数記号での計算結果の式(2行目)
 とにそれぞれ(R+i)形の値を入れて計算し、両者の値が一致するか
 どうかを見ます。


[計算例1]より
1+i+2j+k-3j+5jk+ik-2ij+4i-2+ijk-3ik-2jk
=-1+5i-j-2ij+k-2ik+3jk+ijk

  この例は加減算のみなので、1行目と2行目の式は(R+i)形に変換
  しても同じであることは直感的にわかりますが、1行目と2行目を別々
  に計算して結果を比較します。
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  両者の結果が一致し、OKであることが確認されました。

 

[計算例2]より
  i×2j×k÷3j×5jk×ik÷2ij×4i×ijk÷3ik÷2jk
  =-(10/9)j

  これは乗除算のみの計算例です。1行目の計算はまず掛け算どうしの
  項を計算して、つぎに割り算どうしの項を掛け算して、前者の結果を後
  者の結果で割ります。その結果が2行目の計算結果と同じかどうかを
  見ます。

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  両者の結果が一致し、OKであることが確認されました。


 [計算例3]より
     i×2j+k÷3j×5jk+ik÷2ij×4i-ijk×3ik÷2jk
    =2ij+(5/3)j+2jk+(3/2)k

  これは加減乗除がすべて入った式の計算例です。

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  1行目と2行目の計算結果が一致し、OKであることが確認されました。

 

  [計算例4]より
    -4ij の平方根は ±2ijk

  ここでは平方根の2乗が元の虚数に戻るかどうかを見ます。

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 以上、いろいろな計算式について見てきましたが、いずれも計算結果が
 一致しました。
 各虚数を含む計算式は、まず虚数記号での計算を優先して行い、式を
 できる限り簡素化した上で、各種の数を(R+i)形に変換して計算するの
 が最も効率的で精度も高いようです。

 

 

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数の風景-87

 

 各虚数の整理と表示(6)

 今回は(1+j )の累乗の計算を行ってみます。計算は2つの方法で
 行います。

 方法A
 虚数記号で計算を行って展開式を簡素化し、最後に(R+i)形にする
 方法B
 最初から(R+i) 形で計算する

 方法AとBで結果が一致するかどうかを見てみます。

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 結果は問題ないようです。しかし累乗数が大きくなるほどA,B値の
 違いが大きくなっていきます。その理由はもともとの数値の誤差が、
 累乗数が増すほど拡大していくからだろうと考えています。
 私の感触では方法Aの方が計算が簡単で、誤差も小さく抑えられる
 ので良いのではないかと思います。

 

 

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数の風景-86

 各虚数の整理と表示(5)

 前回に引き続き今度はランダムに掛け算、割り算をして、虚数記号
 の計算結果と (R+i)の計算結果とに矛盾がないかチェックしていき
 ます。 まず掛け算です。

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 つぎに割り算を見てみます。

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 ここまで特に問題は見られませんでした。

 

 

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数の風景-85

 各虚数の整理と表示(4)

 前回多くの虚数を (R+i)の形で表すことができました。しかし変換され
 た 実数と虚数iの和 が元の各虚数の代わりとして何の問題もなく機能
 するかどうかは、いろいろ試してみて確認していく必要があります。
 まず、各虚数記号の計算を整理しておきます。数の風景-79でも見て
 きましたが、いろいろな虚数記号間の計算はつぎのように表されます。

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 このような各虚数間の計算結果と、各虚数を(R+i)で表した値による
 計算結果とが矛盾なく一致するかどうか、調べていきます。
 まず最初に、各虚数の2乗を繰り返した場合の値の変化について見て
 いきます。
 つぎの表は各虚数記号の計算結果と、それに対応するオイラーの公式
 による計算結果( R,i )とを並記したものです。

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 つぎに各虚数の累乗について同様に見ていきます。

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 ここまでのところ問題はないようです。

 

 

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数の風景-84

 各虚数の整理と表示(3)

 前回までの検討の結果、すべての虚数を(R+i)の形で表すことが
 できるようです。

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 ここでの数aの表し方は αの平方根各回数の値に、それに応じた
 各種の数を掛けた形になります。そして各種の数はすべて(R+i)
 の形で表すことができます。 それら各種数を計算してみます。

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 ここで虚数 k について2乗、3乗、・・・、16乗までの計算を行った結果を
 つぎに示します。

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 計算結果から、各種の虚数を (R+i)の形で表すことができ、その値は
 上のように表されることがわかりました。また虚数 k が16乗で 1 になる
 ことが確認されました。この変化を実数、虚数別に 整理してみました。

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 このような関係は、kよりも下位の各虚数記号にも展開できることが
 容易に類推できます。それら多種類の虚数は、R-i 座標上で半径1
 の円周上に完全に閉じ込めることができ、各虚数はその円周上を
 びっしりと埋め尽くすことになります。
 そして結局、
 「細分化された各虚数はすべて実数Rと虚数iの和(R+i)の形で表す
 ことができる」
 となります。またしてもオイラーの公式のすごさを見せつけられました。

 

 

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