徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-28

 πの計算(1)

 前回eを見たので今度はπを計算してみましょう。πは半円と半径の長さの比、
 つまり π=(半円の長さ)/(半径) なのでそれを計算してみます。
 下図の半径1の半円の長さはπですが、それを2分割して両端が円周と交わる
 直線を引き、その2つの直線の長さを合計します。つぎにそれぞれの角度を2分
 割して同じように直線を引き、その直線の長さを計算し、4本の長さの合計を
 計算します。同じ要領でどんどん角度を2分割して1本の直線の長さを短くして
 いき、円周に近づけながら合計の長さを計算していきます。 そしてn回分割後
 の計算式が求められます。

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 分割回数nが小さい場合は、πの真値からずれた値が出てきますが、n値が大
 きくなるにつれて真値に近づいていきます。

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数の風景-27

  自然対数の底 e について
 前(数の風景-18)に指数関数、対数関数というものに触れましたが、そこで
 唐突に e というものが出てきました。 
 この eのx乗 という関数は微分しても積分してもその形は変わらないという
 特別な性質がありますが、この性質からつぎのような「eの構造式」が導かれ
 ます。

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 いくつかのnの値についてeを計算してみます。

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 n=1,000,000 で小数点以下5桁まで真値に一致しました。ずいぶんゆっくり
 と近づいていくものですね。

 

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数の風景-26


 微積分が途切れる?


 ここで、 Y=log X という対数関数を考えてみます。この関数をXによって微分
 すると Y=1/X という式になります。

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 この式はXの-1乗ですが、これ以降、上の微積分の関係式を用いてXの-の
 累乗の世界の微分をどこまでもやっていくことができます。

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 ただどうしても気にくわないのはXの0乗で微積分の連鎖が一旦途切れてしまう
 ことです。これはなんとかできないものでしょうか。

 

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数の風景-25

  0,1,∞(無限大) 再び

 

 数の風景-22で 0,1,∞について見てきましたが、そこで見逃してきた
 つぎのような関係について考えてみます。
  0×∞  0/∞  ∞/∞  

 まず 0×∞ について
 0は  0 = lim 1/n  (n:自然数)   ∞は ∞= lim 1/X
       n→∞                x→0
 X→0は X = lim 1/n と表されるから
       n→∞
 ∞は ∞=1/(lim 1/n)
       n→∞
 したがって、0×∞ は
  0×∞ = lim 1/n × 1/(lim 1/n)
      n→∞      n→∞
       = lim n/n
        n→∞ 
       = 1     ・・・ (1)

 0/∞ について
  0/∞ = lim 1/n /(1/(lim 1/n))
      n→∞      n→∞
       = lim 1/(n×n)
        n→∞   
       = 0      ・・・ (2)

 ∞/∞ について
  ∞/∞ = 1/(lim 1/n) /(1/(lim 1/n))
        n→∞       n→∞
       = lim n/n
       n→∞ 
      = 1      ・・・ (3)

 ここまではこれでいいのでしょうか。


 じつはここで矛盾した結果が現れます。0×∞ について再度計算してみます。
 (2)式から 0=0/∞でもあるので 0×∞ は (0/∞)×∞ とも表され
 ます。 したがって
 0×∞ = (0/∞)×∞ 
      = 0×∞/∞   (3)式より ∞/∞ = 1 だから
      = 0×1
      = 0  
 となり、これは(1)式と矛盾します。

 結局、0,1,∞は計算の結果を出すときに最後に一度だけどちらに収束する
 かを判定することができるもので、計算の途中で四則演算をすることは原則
 できないのではないでしょうか。 これは数学の世界では常識なのかもしれ
 ませんが。

 

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数の風景-24


 積分

 前回とは逆に Y=X について積分を行えば、直線 Y=X とx軸(0からxまで)

 とが作る三角形の面積になります。

 

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 このようにして積分によってできた関数をXで微分すると元の関数

(ここではY=X )に戻ります。

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 一般にXの0次以上の関数Yの微分積分の関係はつぎのようになっていますね。

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数の風景-23

 微分

 微分はXの微小な変化にともなって関数Yの値がどのように変化していくかを
 見るものですから、X-Y平面上でXの各点における関数Yの傾きの値を関数化
 する作業になり、積分はその逆つまりX-Y平面上でX=0からXまでの関数Yの
 累積値を関数化する作業になります。
 ここに Y=X という関数があるとします。 これはXが1増加すればYも1増加
 するという関係を表しています。
 この関数についてXによる微分を行えば Y=1 という関数になります。

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 この式には変数Xがなくなっています。ということはこれ以上この関数をXで微分
 することはできないことになります。しかしこれでおしまいと言われても私はなん
 だか釈然としません。

 

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数の風景-22

 0,1,∞(無限大)

 0,1,∞ は いろいろな関数の計算にとって重要なものであり、つぎの
 ようなものではないかと考えていますが、これでいいのでしょうか。

  0は分数の分母を無限に大きくしていくことで実現
     0 = lim 1/n         (n:自然数
        n→∞
     0 = lim (1/a) のn乗   (|a|>1)
        n→∞
  1は基本的に分数の分子と分母が等しい状態
     1= X/X            (X:全ての数)
     1= lim a の(1/n)乗   (a:0以外の実数)
       n→∞
  ∞は分数の分母を無限に小さくしていくことで実現
     ∞= lim 1/X
        X→0
     単に0の逆数(→ 1/0 )と考えることも可

 

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