素数の正体は （３）
ここまで素数について考えてきたことをまとめてみます。
まず、正の整数Ｘに含まれる素数個数の推定式を Ｘ／（ ｌｏｇ Ｘ - 1）
として、この式から素数個数のイメージを描いてみます。
ここで、Ｘ＝１０ から Ｘ＝１００００ までのいくつかの数について
つぎのような手順に従って素数個数を計算してみます。
下線が引かれた数値は、数の風景－６４で見てきた素数個数比率
です。底を Ｘ／ｅ として ｅ の対数を計算した値で、Ｘ値が大きくなる
ほど、その値は小さくなります。
上の模式図では“ξ”で表されているもので、ξ＝１／（ ｌｏｇ×- 1）
の関係から、ｌｏｇ Ｘ は ｌｏｇ Ｘ ＝１＋１／ξ となります。
私はこの ξ＝素数個数比率 が「素数の素」とでも言うべき値だろう
と考えています。
いくつかのＸ値について、この値がどのように変化していくかを見て
みましょう。
繰り返しになりますが、これは整数Ｘの中に、Ｘ以下の素数が含まれ
る割合を示すグラフになっています。 そしてこのＸ倍が素数個数に
なります。
素数の正体は （２）
ここまで見てきた中で （ｌｏｇＸ－１） の形の式が意外なところに顔を出して
います。
それをつぎに整理してみます。
＜素数個数関数＞ ＜直交座標系＞ ＜微積分連鎖＞
１次元 Ｘ／（ｌｏｇＸ－１） Ｘ Ｘ（ｌｏｇＸ－１）
基底次元 １ ｌｏｇＸ
こう並べて１次元で比べてみると、＜素数個数関数＞ と ＜微積分連鎖＞
の積は ＜直交座標系＞ のＸの２乗に等しいことが分かります。
これをいくつかの整数 Ｘ について計算してみます。
このうち、Ｘ≦２０の範囲で１刻みで計算、Ｘ≦１０の範囲でグラフ表示して
みます。
ここで＜素数個数関数＞に換えて、前回見た＜素数個数比率＞として
整理しなおしてみます。
＜素数個数比率＞ ＜直交座標系＞ ＜微積分連鎖＞
１次元 １／（ｌｏｇＸ－１） Ｘ Ｘ（ｌｏｇＸ－１）
基底次元 １ ｌｏｇＸ
１次元で比べてみると、＜素数個数比率＞ と ＜微積分連鎖＞ の積は
＜直交座標系＞ のＸに等しくなることが分かります。
見方を変えれば、＜直交座標系＞を ＜微積分連鎖＞で割った値が
＜素数個数比率＞になります。
この関係をＸ≦１０の範囲でグラフ表示してみます。
素数の正体は （１）
ここまで素数の累積個数についてあれこれ見てきたけれど、肝心の素数の
正体については迫ることができていません。もっとよく理解することはできない
でしょうか。
前々回、素数個数推定値を Ｐ（ｎ）として、Ｐ（ｎ） ＝ ｎ／（ ｌｏｇ ｎ － 1）
を見てきました。
私はこの式を簡単に見過ごすことができません。もっとじっくり見てみたいと
思います。
ここからは自然数 ｎ を正の整数×に置き換えて、Ｐ（×） ＝ ×／（ ｌｏｇ×－ 1）
を素数個数関数として見ていきたいと思います。
この式は整数×に１／（ ｌｏｇ×－1）を掛けた形です。つまり１／（ ｌｏｇ×－1）
は整数×に対する「×以下の素数個数の比率」を示す値ということになります。
素数個数比率 1／（ ｌｏｇ×-－1）は、底を（×／ｅ ）としてつぎのように書き表さ
れます。
このように見てくると、素数は自然対数の底 ｅ と密接に関わって存在している
ことは間違いないようです。
素数の近似式（４）
Ｐ（ｎ） ＝ ｎ／（ ｌｏｇ ｎ - 1）
について見てきました。しかし、これは究極の推定式ではないような気も
します。そこで、誤差を小さくするべく試行錯誤の末、つぎの式にたどり
着きました。
Ｐ(n) =n/(log n - ( 1+1/(log n -1)))
この式で計算してみました。
結果は前回の計算結果と大差ないように見えます。しかしよく見るとつぎ
のような違いが判ります。
今回の計算結果の方が前回結果より
① ｎが小さい領域での誤差が大きい
② 誤差が＋から－に変わる点のｎ値が大きい
③ ｎが大きい領域での誤差が小さい
などです。
私は、この式はつぎのように無限に拡張できるのではないだろうか、と考え
ています。
Ｐ(n) =n/(log n - ( 1+1/(log n -(1+1/(log n -(1+1/(log n ・・・ ))))
そして拡張するたびに、上の①～③の傾向も引き続き現れるのではと推測
しています。
これは詳しく調べているわけではないので、あくまでも予想です。間違って
いるかもしれません・・・
素数の近似式（３）
素数の近似式として取り上げた ｎの（２／ｅ）乗 は自然数ｎが１０００を
超える領域では誤差が急激に拡大してしまうという、致命的な欠陥が
みつかりました。そこでもっと大きいｎの領域でも精度の良い近似式は
ないか検討してみるべく、素数定理の式にたち返って探してみました。
その結果、素数定理の式と類似のつぎの式に到達しました。
自然数ｎまでの素数累計推定値をＰ(ｎ)とすると
Ｐ(ｎ) ＝ ｎ／（log ｎ - 1）
この式は理論的に導き出したものではなく、実測値 π(ｎ) に基づいて
出しました。
素数定理より、ｎ／log ｎ ～ π(ｎ) だから、logｎ ～ ｎ／π(ｎ) の
関係にあります。 （注）「～」 は 「近似」を表す
そこで、ｎ≦１０００の範囲で ｎ／π(ｎ) と log ｎ の値を見てみます。
ちなみにπ（ｎ）値の出典は「素数に憑かれた人たち」です。
つぎにｎ≧１０００の範囲で見てみます。
数字をよく見ると、自然数 ｎ が大きくなるにつれ、その対数 log ｎ と
ｎ／π(ｎ) とが log ｎ - ｎ／π(ｎ) ～ １ なる関係に近づくようです。
そこで上の各ｎについて log ｎ - ｎ／π(ｎ) を計算してみました。
素数個数π(ｎ)の推定値をＰ(ｎ)とおいて、 log ｎ - ｎ／Ｐ(ｎ) ＝ １
から Ｐ(ｎ) が求められました。
結果は自然数ｎ＞２００ではまずまずの精度になりました。グラフで
誤差率を見るとつぎのようになります。
（注）
これはフランスの数学者ルジャンドルが１８００年頃に発表した「数論」
の中に π（ｘ） ～ ｘ／（ ｌｏｇ ｘ - Ａ）
と記されているそうです。 Ａは定数で、ルジャンドルが与えた値は
Ａ ＝ １．０８３６６ だそうです。
「素数に憑かれた人たち」でも触れられていまますが、「明解 ゼータ
関数とリーマン予想」（ハロルド・Ｍ・エドワース著） の中で紹介され、
詳しく解説されています。 著者によると定数Ａの値は上の値でなけ
ればならない必然性はないとのことです。
どうも私は２００年ほど昔の世界をさ迷っていたことにやっと気付き
ました （笑）
素数の近似式（１）
前回までに素数定理の２つの計算、Ｘ／ｌｏｇＸ と Li（ｘ） から計算した値
は ｎ＜１０００ の範囲ではカウントした値 π（ｎ）に比べて数％～１０％
程度離れた値になっています。１０の６乗を超える数の領域ではその
誤差は数％以下に縮小していくようですが０にはならないようです。
そこでもっと実際の素数の増え方に近い数式はないだろうかと探して
いたところ、ありました。それはつぎのような式です。
計算結果と結果のグラフはつぎのようになります。比較のために素数
定理 （ｎ／ｌｏｇ ｎ ） の数値も表示しています。
ｎの（２／ｅ）乗の計算結果は素数累計の実測値π（ｎ）とｎ＜１０００の領域
で良 く合っています。誤差はｎ＝１００で＋１８．４％とちょっと大きいですが、
ｎ＝６４０～６４５あたりで実測値π（ｎ）と交差しており、ｎ＝１０００では
－４．１％になります。
