素数定理（２）
ここで前回とは別の方面から Ｌｉ(x) の値を計算してみます。 ｌｏｇＸ の
ｌｏｇ を計算するという方法で計算してみます。
この計算式に基づいて計算してみました。
ここでの 計算結果は、前回の計算結果よりさらにＬｉ(x) に近い値となり
ました。
数の風景－５８
素数定理（１）
素数については数の風景－７で触れていますが、その後も出てきたので
もう少し詳しく見てみます。
１，２，３、･･・と数えていく自然数ｎの中に素数はいかにも気まぐれに存在
しているように見えますが、その増え方には一定の法則があると考えられ
素数定理はそこから生まれたもののようです。
「素数に憑かれた人たち」の著者ジョン・ダービーシャーによると、素数定
理には２通りの表し方があって、１つは Ｘ／ｌｏｇＸ で表され、２つ目はつぎ
のような「対数積分関数」（以下、Ｌｉ（x） と表示）でも表されているようです。
ここで Ｘ は正の整数です。自然数ｎと同じなので、これからしばらく入り乱
れて出てくるかもしれませんが、基本的に同じ扱いとなります。
ここで２つの素数定理についてｎ≦１０００の範囲で計算した値をグラフで
見てみます。
ここで Ｌｉ（ｘ）の値は∑１／ｌｏｇｘとして計算しているので、Ｘ＝１から
１刻みで計算し、その値を各ｎ値までの合計値で表しています。
π(n)は素数の実際の累積個数です。 図で Ｘ／ｌｏｇＸ はπ(n)より小さく、
Ｌｉ（ｘ）はπ(n)より大きくなっています。 この差は何でしょうか。計算して
みました。
表から素数定理 Ｘ／ｌｏｇＸ に差の値 B を加えた値は、３～４ほど大きい
けれど、ほぼ Ｌｉ（ｘ）に近い値になりました。
数の風景－５７
オイラー定数（３）
オイラー定数の値については前回計算しました。ここでは刻みをもっと
小さくして値がどうなるか調べてみます。
つぎの図は数の刻みの幅を１から ０．５、０．２、０．１ へと順次小さく
していくことにより、その値がどのように変化していくかを見るものです。
計算はつぎの式で行いました。
ｎ＝１０、ｎ＝１００の場合についてグラフにしてみました。
刻みの幅が小さくなるほど、前回図示した緑の線の長さは小さくなって
いき、ついにはつぎの式にたどり着きます。このとき、緑の線の長さ
すなわちｌｏｇＸとの差は０になります。
整数１を基底とする１刻みの数体系にはオイラー定数が付随してくる
けれども、ｌｏｇＸを基底とする数体系にはその成分が除かれている
ように思われます。
数の風景－５６
オイラー定数（２）
前回、オイラー定数にふれましたが、これはどういうものか少し立ち入って
調べてみます。
上の式にはΣの項がありますが、この項は １／１＋１／２＋１／３＋・・・
という分数の和になっています。これは調和級数と呼ばれている分数和
です。
調和級数を１から１／ｎまで足していく作業を延々ｎ＝∞に向かってやって
いき、そこから ｌｏｇ ｎ を引くとオイラー定数が現れます。
分数の和の関数はなめらかな曲線にはなっていなくて、幅１の階段のよう
になっています。
この関数から ｌｏｇ ｎ を引いた値がオイラー定数になるようです。グラフで
表せばつぎのようになります。
図で １／ｎ の累計値から ｌｏｇ ｎ を引いた値は緑の線の長さで表されます。
この値の推移を赤の曲線で表しました。 ｎ→∞で究極のγ値、すなわち
オイラー定数に収束するようです。
数の風景－５５
オイラー定数（１）
ｌｏｇＸのｎ階積分関数は「オイラー定数」というものと何か関係があるかも
しれないという気もしています。
まずオイラー定数とはどんなものか、見てみましょう。
「オイラー入門」（Ｗ．ダンハム著）によると、オイラー定数γについて
「πやｅのようにγも数学に出てくるもっとも重要な定数に分類されており、
オイラーは「とても注目に値するものである」と述べている。πやｅ のよう
にγも数学のあらゆるところに思いがけない形で現れてくる」 とあります。
このオイラー定数を使ってｌｏｇＸのｎ階積分関数を表すことができます。
ただしここではｋ→∞ではなく、ｋ＝ｎでのγ値（γn と表示 ）となります。
γn 値について、いくつかのｎの値で計算してみるとつぎの図のようになり
ました。
数の風景－５４
基底次元と１次元の関係についてさらに見ていきます。基底次元は１次元
の構成要素であるとも考えられます。そこで１次元の組み立てを見るために
基底次元で１次元を割ってみます。
<直交座標系> <微積分連鎖>
1次元 Ｘ Ｘ （ ｌｏｇＸ － １ ）
基底次元 １ ｌｏｇＸ
１次元／基底次元 Ｘ Ｘ （ １－１／ｌｏｇＸ ）
この展開式 は Ｘ－Ｘ／ｌｏｇＸ となり、Ｘ から Ｘ／ｌｏｇＸ を引いた形になって
います。 ここに現れる Ｘ／ｌｏｇＸ は 「素数定理（注）」 と呼ばれています。
（注）
「素数定理」については「素数に憑かれた人たち」（ジョン・ダービーシャー著）
の中でも詳しく紹介されています。
１次元／基底次元の値は、直交座標系で Ｘ となるのに対して、微積分連鎖
では Ｘに（ １－１／ｌｏｇＸ ）を掛けた形になります。
実際に１０から１００までの数についてグラフで確認してみます。青の実線が
Ｘ－Ｘ／ｌｏｇＸを表しています。
これは直交座標系の数Ｘに対して、素数の発生確率 １／ｌｏｇＸ を除いた値
に補正している意味があるようです。 これに基底次元の ｌｏｇＸ を掛けた数
Ｘ（ｌｏｇＸ－１） が 微積分連鎖の１次元になっています。
数の風景－５３
微積分の連鎖・・・基底次元と１次元
前回、ｌｏｇＸ の積分関数に含まれる（）内の数式の意味を式が示す挙動
から探ってみましたが、いまひとつ腑に落ちません。
とりあえず、元に戻って Ｘ と Ｘ（ｌｏｇＸ－１） の値の変化をグラフで比べて
みることにしましょう。
微積分連鎖の１次元関数 Ｘ（ｌｏｇＸ－１）については、数の風景４９で
０＜Ｘ≦１０ の範囲を、また前回 ０＜Ｘ≦８ の範囲を見ました。ここでは
Ｘ≧１０の範囲で見てみます。ｙ＝Ｘは一直線の増加ですが、Ｘ（ｌｏｇＸ－１）
は値の増加が大きく、その差はどんどん大きくなっていきます。
そもそも基底次元が異なっています。比べてみると直交系は １、微積分
連鎖は ｌｏｇＸ です。 ｌｏｇＸ とは何なのか 立ち止まって考えてみれば、
の？に当たるものが ｌｏｇＸ ですね。これはつまり、直交座標系の値 Ｘ に
等しくするにはｅ の？乗でなければならないとき、その値？を ｌｏｇＸ と表し
ているわけです。したがって、基底次元が ｌｏｇＸ であることは、基底次元
が ｅ の指数であるとも解釈されます。
ここで直交座標系と微積分連鎖の基底および１次元についてグラフを見て
みます。
グラフ中に矢印で書いているように、ｅ の ｌｏｇＸ 乗をすることで ｌｏｇＸ から
直交座標系の１次元 Ｘ につなぐこともできます。こうすることで、ｅ の指数
の世界から直交系へ乗り換えることができるわけです。一方、基底次元の
ｌｏｇＸ をそのまま積分していけば ｅ の指数の世界での積分が続いていく
ことになります。
