オイラー定数（１）
ｌｏｇＸのｎ階積分関数は「オイラー定数」というものと何か関係があるかも
しれないという気もしています。
まずオイラー定数とはどんなものか、見てみましょう。
「オイラー入門」（Ｗ．ダンハム著）によると、オイラー定数γについて
「πやｅのようにγも数学に出てくるもっとも重要な定数に分類されており、
オイラーは「とても注目に値するものである」と述べている。πやｅ のよう
にγも数学のあらゆるところに思いがけない形で現れてくる」 とあります。
このオイラー定数を使ってｌｏｇＸのｎ階積分関数を表すことができます。
ただしここではｋ→∞ではなく、ｋ＝ｎでのγ値（γn と表示 ）となります。
γn 値について、いくつかのｎの値で計算してみるとつぎの図のようになり
ました。
基底次元と１次元の関係についてさらに見ていきます。基底次元は１次元
の構成要素であるとも考えられます。そこで１次元の組み立てを見るために
基底次元で１次元を割ってみます。
<直交座標系> <微積分連鎖>
1次元 Ｘ Ｘ （ ｌｏｇＸ － １ ）
基底次元 １ ｌｏｇＸ
１次元／基底次元 Ｘ Ｘ （ １－１／ｌｏｇＸ ）
この展開式 は Ｘ－Ｘ／ｌｏｇＸ となり、Ｘ から Ｘ／ｌｏｇＸ を引いた形になって
います。 ここに現れる Ｘ／ｌｏｇＸ は 「素数定理（注）」 と呼ばれています。
（注）
「素数定理」については「素数に憑かれた人たち」（ジョン・ダービーシャー著）
の中でも詳しく紹介されています。
１次元／基底次元の値は、直交座標系で Ｘ となるのに対して、微積分連鎖
では Ｘに（ １－１／ｌｏｇＸ ）を掛けた形になります。
実際に１０から１００までの数についてグラフで確認してみます。青の実線が
Ｘ－Ｘ／ｌｏｇＸを表しています。
これは直交座標系の数Ｘに対して、素数の発生確率 １／ｌｏｇＸ を除いた値
に補正している意味があるようです。 これに基底次元の ｌｏｇＸ を掛けた数
Ｘ（ｌｏｇＸ－１） が 微積分連鎖の１次元になっています。
微積分の連鎖・・・基底次元と１次元
前回、ｌｏｇＸ の積分関数に含まれる（）内の数式の意味を式が示す挙動
から探ってみましたが、いまひとつ腑に落ちません。
とりあえず、元に戻って Ｘ と Ｘ（ｌｏｇＸ－１） の値の変化をグラフで比べて
みることにしましょう。
微積分連鎖の１次元関数 Ｘ（ｌｏｇＸ－１）については、数の風景４９で
０＜Ｘ≦１０ の範囲を、また前回 ０＜Ｘ≦８ の範囲を見ました。ここでは
Ｘ≧１０の範囲で見てみます。ｙ＝Ｘは一直線の増加ですが、Ｘ（ｌｏｇＸ－１）
は値の増加が大きく、その差はどんどん大きくなっていきます。
そもそも基底次元が異なっています。比べてみると直交系は １、微積分
連鎖は ｌｏｇＸ です。 ｌｏｇＸ とは何なのか 立ち止まって考えてみれば、
の？に当たるものが ｌｏｇＸ ですね。これはつまり、直交座標系の値 Ｘ に
等しくするにはｅ の？乗でなければならないとき、その値？を ｌｏｇＸ と表し
ているわけです。したがって、基底次元が ｌｏｇＸ であることは、基底次元
が ｅ の指数であるとも解釈されます。
ここで直交座標系と微積分連鎖の基底および１次元についてグラフを見て
みます。
グラフ中に矢印で書いているように、ｅ の ｌｏｇＸ 乗をすることで ｌｏｇＸ から
直交座標系の１次元 Ｘ につなぐこともできます。こうすることで、ｅ の指数
の世界から直交系へ乗り換えることができるわけです。一方、基底次元の
ｌｏｇＸ をそのまま積分していけば ｅ の指数の世界での積分が続いていく
ことになります。
微積分の連鎖・・・ｸﾞﾗﾌによる確認
微積分連鎖の関数は、一般に使われている各階の関数に（）内の式を掛
けた形になっています。（）内の式をどう解釈したらいいのでしょうか。
ここでは（）内の式が示す挙動について見てみます。式の内容をビジブルに
つかむため、Ｘ値が１≦Ｘ≦１０、積分階数ｎが １≦ｎ≦１０ の範囲で（）内
の式をグラフ化してみました。
つぎに同じＸ値の範囲で、ｎ階積分関数について５階積分まで見てみました。
さらにｎ階積分関数について Ｘ値を １ を跨いで ０．７５ から ５ までの範囲
で、積分ではｌｏｇＸの５階積分まで、微分ではｌｏｇＸの３階微分までの範囲で
見てみました。
積分の関数では１より大きい領域で、微分の関数では１より小さい領域で
関数の値が大きく変化していきます。
ここでいくつかのＸ値をパラメータとして、微積分の階数値を横軸に、その
変化の様子を見てみます。
微積分の階数が増えるにつれてグラフがダイナミックに変化していく様子が
見られます。
Ｘ vs Ｘ（ｌｏｇＸ－１）
数の風景－２６で、Ｘの０乗からの微分、ｌｏｇＸ からの積分の辺りで微積分の
連続性がよく分からなくなっていたので、ここで再度考えてみます。
前回の検討結果からｌｏｇＸ の積分形は ｙ＝1 の積分である ｙ＝Ｘ に
（ｌｏｇＸ－１） を掛けた形になっています。
Ｘの１次元といえば、関数 ｙ＝Ｘ が常識ですが、この微分は ｙ’＝１ となり、さら
にその微分は ｙ’’＝０ で、ここで微分の連鎖は途切れてしまいます。
それに対して関数 ｙ＝Ｘ（ｌｏｇＸ－１） は、その微分が ｙ’＝ ｌｏｇＸ 、
さらにその微分が ｙ’’＝１／Ｘ となり、それ以降も微分は可能です。
このように、Ｘの１次元に Ｘ（ｌｏｇＸ－１） を持ってくれば微積分が途切れる
のを回避できるようです。
ここで参考までに、ｙ＝Ｘ と ｙ＝Ｘ（ｌｏｇＸ－１） とを グラフに表示して
みました。
ｙ＝Ｘ と ｙ＝Ｘ（ｌｏｇＸ－１）のグラフが交わる点のｙとｘの値はｅの２乗
すなわち
ｙ＝Ｘ＝７．３８９０５６・・・ となっています。
また ｙ＝Ｘ（ｌｏｇＸ－１） の傾きは Ｘ＝１ で ０ となり、最下点 ｙ＝－1 と
なります。
