分割数を∞に近づけていくと πの素 はどうなる（２）
ここでは「∞に近づけたｎ値」のことを「ｎ→∞」と表現します。
数の風景－３２ で分割数が増えるにつれて πの素（Π） の値がどんどん小さく
なっていくのを見てきました。そして分割数ｎ→∞の極限状態では０になっている
かもしれません。
しかしここでちょっと考えてみてください。半径１の長さをｎ→∞分割するとやはり
０に近づいていきますが、その分割された小さな１辺に同じｎ→∞を掛ければ
結果は１になるのは明白です。とすると分割数ｎ→∞で極限状態の０になって
いるはずの πの素 は厳密には０ではないのではないかという疑問が生まれて
きます。というのも、このπのｎ→∞分割値（πの素）をｎ→∞倍すればπという
値になるからです。
そこで前回見てきた、「角度Θを限りなく０に近づけていくと、ｓｉｎΘはΘに
どんどん近づいていき、ついにはΘに等しくなっていく」という結論の出番です。
私はこの結論は「条件付きで正しい」と考えます。πをｎ→∞分割した１辺をｎ→∞
倍すればπの長さになります。図で表せばつぎのようになります。
図でΘのｎ→∞分割のｎ→∞倍と、半径１のｎ→∞分割のｎ→∞倍を表してみま
した。たしかにπは半径のπ倍の長さになっています。しかし円弧にはなってい
ません。
私は円弧を本当に再現させるための本当の「πの素」は、ｓｉｎΘのｎ→∞分の１
でなければならないし、いくら分割してもｓｉｎΘはΘにはならないと考えます。
専門的にいえば、「Θ→０でｓｉｎΘ→Θ」はスカラー（数だけの世界）では正し
く、ベクトル（数だけでなく位相・方向も含む世界）では正しくないということ
でしょうか。
結局、極限の「πの素」の正体は目に見えるものではありませんが、下の模式図
のように表される微小三角形ではないでしょうか。
分割数を∞に近づけていくと πの素 はどうなる（１）
ここからはｎを分割回数ではなくて図のようにπの分割数ｎとして考えていきます。
分割された扇形に対応する三角形は向かい合う２つの直角三角形に分割され
ますが、その直角三角形の原点部の角度は分割数ｎが大きくなるほど０に近づい
ていきます。この角度はπ／２ｎですが、これをΘとしたとき分割数ｎが大きくなる
ほどΘは０に近づいていきます。
角度Θを限りなく０に近づけていくと、ｓｉｎΘはΘにどんどん近づいていき、つい
には等しくなっていくとされていますが、これはつぎのように説明できます。
角度Θを限りなく０に近づけていくとｓｉｎΘとΘは等しくなっていくことが確かめられ
ました。 となれば、ｃｏｓΘはつぎのようになります。
ここで根号の中を見ると、１－（Θの２乗）となっています。Θはπ／２ｎだから
（Θの２乗）は（（π／２ｎ）の２乗）であり、ｎ→∞で０×０となります。もうこれは０
とみなして差し支えないでしょう。結局、πのｎ→∞分割でｃｏｓΘは１に収束する
ということになります。
「πの素」
前回、πの２分割スタートとπの３分割スタートを比較してみましたが、どちらも
分割１０回で小数点以下５桁までの精度が得られました。ちなみに２分割１０回は
２の１０乗で１０２４分割になります。最初だけ３分割の場合は３×（２の９乗）
で１５３６分割 になります。
３分割スタートの式と２分割スタートの式とを比べてみると、どちらも四角枠の値
に１回目分割数と２回目以降の分割数を掛けています。ここで注意するべきは２回
目以降の分割数２の（ｎ－１）乗はどちらも同じことです。これは分割数が大きく
なるにつれ、四角枠の値に１回目分割数を掛けた両者の値がどんどん近づいてい
き、ついにはほぼ同じ値になることを示しています。
四角枠の中を「πの素」と名付けてΠで表しましょう。右下の添え字３は３分割スタ
ート、２は２分割スタートを表しています。
３分割スタートの「πの素」と２分割スタートの「πの素」の比の値は２／３に収束して
います。
分割回数 ｎ＝１５ 付近で２つのΠの比の値はほぼ収束しているように見えます。
そこで分割回数 ｎ＝１５でπの値を計算してみたところ、かなり精度良い値が得られ
ました。
