数の風景－２３

　微分

　微分はＸの微小な変化にともなって関数Ｙの値がどのように変化していくかを
　見るものですから、Ｘ－Ｙ平面上でＸの各点における関数Ｙの傾きの値を関数化
　する作業になり、積分はその逆つまりＸ－Ｙ平面上でＸ＝０からＸまでの関数Ｙの
　累積値を関数化する作業になります。
　ここに　Ｙ＝Ｘ　という関数があるとします。　これはＸが１増加すればＹも１増加
　するという関係を表しています。
　この関数についてＸによる微分を行えば　Ｙ＝１　という関数になります。

　この式には変数Ｘがなくなっています。ということはこれ以上この関数をＸで微分
　することはできないことになります。しかしこれでおしまいと言われても私はなん
　だか釈然としません。

数の風景－２２

　０，１，∞（無限大）

　０，１，∞　は　いろいろな関数の計算にとって重要なものであり、つぎの
　ようなものではないかと考えていますが、これでいいのでしょうか。

　　０は分数の分母を無限に大きくしていくことで実現
　　　　　０ ＝ ｌｉｍ １／ｎ　　　　　　　　　（ｎ：自然数）
　　　　　　　 ｎ→∞
　　　　　０ ＝ ｌｉｍ （１／ａ） のｎ乗　　　（｜ａ｜＞１）
　　　　　　　 ｎ→∞
　　１は基本的に分数の分子と分母が等しい状態
　　　　　１＝ Ｘ／Ｘ　　　　　　　　　　　　（Ｘ：全ての数）
　　　　　１＝ ｌｉｍ ａ　の（１／ｎ）乗　　　（ａ：０以外の実数）
　　　　　　　ｎ→∞
　　∞は分数の分母を無限に小さくしていくことで実現
　　　　　∞＝ ｌｉｍ　１／Ｘ
　　　　　　　 Ｘ→０
　　　　　単に０の逆数（→　１／０ ）と考えることも可

数の風景－２１

　（Ｘ＋１）の累乗

　Ｘの一次式（Ｘ＋１）を複数回掛けたらどういう式になるのでしょうか。数の少ない
　方から少しずつ計算していきます。

　各項の係数値はちょうど真ん中辺りが最も大きいことがわかります。（Ｘ＋１）の
　ｎ乗のときの係数値はつぎのように知られていますね。

　ｎＣｋは前回も触れましたが、異なるｎ個の中からｋ個を取り出して１セットの組み
　合わせを作るとき、異なる組み合わせは最大何セット作れるかという計算を表す
　表記で、「異なるｎ個からｋ個を取り出す組み合わせ数」ということになります。

　実はこの辺りから先は私のよく知らない世界なので勝手に迷い込んでいきます。
　私自身理解不足の部分も沢山あるので、クイズも回答も出せません。逆にもし
　間違ったところがあれば教えて頂きたいです。
　それでも自分の迷い込んでいる怪しげな小道もノートに収まっているだけでは
　窮屈だろうということで、ブログに開放してみようと思います。

数の風景－２０

　組み合わせ数

ナンバープレート
　ここでナンバープレートの組み合わせ数について考えてみます。
　０から９までの１０個の数字を使って４桁の番号札を作るとしたら　００００　から
　９９９９　まで　１００００個の札ができます。
　この番号の組み合わせは各桁１０個の数字を選べますから４桁で　
　１０×１０×１０×１０　通りの組み合わせができることはすぐに分かります。

順列
　ここに１度使った数字は使えないという条件が加わると、組み合わせの数は
　１０×９×８×７　通りで合計５０４０通りになります。　これはつぎのようにも
　計算できますね。
　１０×９×８×７×６×５×４×３×２×１／（６×５×４×３×２×１）
　このように1つずつ数を減らしながら１まで掛けていく計算方法を階乗といい、
　その　値を！で表す約束になっているので、上の計算式は　１０！／６！　と
　なります。計算結果は５０４０通りとなりました。
　これは順列と呼ばれていますね。

組み合わせ
　ナンバープレートや順列の場合は、たとえば　２４５６　と　６２４５　とは
　別物とみなされますが、使われている数字は同じです。数の並びの順序には関係
　なく使われている数の組み合わせが同じものはみな同じと考えたとき、いく通り
　の異なる数の組み合わせがあるかを計算するのが「組み合わせ」です。
　０から９までの１０個の数字の中から異なる４個の数字を取り出せば、いく通り
　の数の組み合わせを作ることができるでしょうか。　これには上の４桁の順列
　の数　１０！／６！から同じ数の組み合わせを使った分を除かなければなり
　ません。　異なる４個の数１セットを並べ替えてできる異なるプレート数は
　４×３×２×１＝４！　となるので、求める組み合わせ数は　１０！／６！／４！　
　となります。計算結果は２１０通りの組み合わせ数となりました。
　一般にｎ個の異なるものの中からｋ個を取り出す組み合わせの数は
　ｎＣｋ＝ｎ！／（（ｎ－ｋ）！ｋ！）　と表されます。

　以上を、つぎの３つの数の並びで確認してみます。　それぞれのグループに
　入れる数の並びを○、入れない数の並びを×とすると、つぎのようになります。
　ただし、グループ内には上の数が優先して入れるとします。

　　ナンバープレート　　　　　　順列　　　　　　　　　　　組み合わせ　　　
　　　０１２３　　　○　　　　０１２３　　　○　　　　　　０１２３　　　○　　
　　　１０２３　　　○　　　　１０２３　　　○　　　　　　１０２３　　　×
　　　１１２３　　　○　　　　１１２３　　　×　　　　　　１１２３　　　×

数の風景－１９

関数　　その（４）

　三角関数
　図のような直角三角形があり、1つの角度がΘのとき、つぎのように三角
　関数として表されます。
　　　ｓｉｎΘ＝隣辺２／斜辺　　　ｃｏｓΘ＝隣辺１／斜辺

　ここで　Ｘ＝ｃｏｓΘ　Ｙ＝ｓｉｎΘ　として、Ｘを横軸に、Ｙを縦軸にして角度Θ
　の変化に伴う変化をプロットしていくとつぎのようになりますね。

　Θを変数として、ＸとＹの関係を図にしてみると、つぎのようになります。

　上の図は半径 ｒ＝１の円になりましたが、ここで半径 ｒを ｒ＝Θとして半径の
　大きさもΘに比例して（ここでは比例定数=１）変化するとき、どんな図形に
　なるか見てみます。

　円ではなく、渦巻きが現れました。

　前回の答え

　答えは、対数関数の Ｘ の値がそれと対称な指数関数のＹの値になるので、
　つぎのようになります。
　　Ｙ＝ｅの２乗＝７．３８９

数の風景－１８

関数　　その（３）

　指数関数
　指数関数は通常、自然対数の底ｅの指数を変数ｘとして、つぎのように
　表されています。

　指数関数ｅのｘ乗は、微分や積分をしてもその関数の形が全く変わらず、ｅの
　ｘ乗のままであるという特別なものですね。
　その特別な数 ｅ の値は　ｅ　＝　２．７１８２８１８・・・　となっています。　

　対数関数
　ここでは対数はすべてｅを底とする自然対数とします。対数関数はつぎの
　ように表されていますね。
　　Ｙ＝ｌｏｇ Ｘ
　底ｅは必要に応じｌｏｇとＸの間に小さく書かれますが、通常省略されるかｌｎと
　書かれていますね。
　対数関数は上の指数関数と密接な関係にあって、つぎのようにＸとＹを交換
　すればその式は上の指数関数と全く同じ関係を意味します。
　　Ｘ＝ｌｏｇ Ｙ
　一般にＸとＹを交換した２つの式は　Ｙ＝Ｘ　という直線を中心線として対称に
　なります。つまり直線Ｘ＝Ｙを鏡として相手の関数を鏡に映る自分の姿として
　見ています。

　ここで問題です

　対数関数（底をｅとする）Ｙ＝ｌｏｇ Ｘ の値が Ｙ＝２ のとき、Ｙ＝Ｘ という直線を
　中心として対称な指数関数のＹの値はどうなりますか。

　　　答えは次回ブログで

数の風景－１７

関数　　その（２）

　文字式の計算
　計算は原則()の中を先に計算しますが、つぎのように展開して計算する
　こともできますね。
　（ａ＋ｂ）＋（ｃ＋ｄ）＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ
　（ａ－ｂ）－（ｃ－ｄ）＝ａ－ｂ－ｃ＋ｄ
　（ａ＋ｂ）×（ｃ＋ｄ）＝ａ×（ｃ＋ｄ）＋ｂ×（ｃ＋ｄ）＝ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ
　（ａ－ｂ）／（ｃ－ｄ）＝ａ／（ｃ－ｄ）－ｂ／（ｃ－ｄ）
　　
　ここで、実社会における関数応用の事例を考えてみます。
　生鮮食料品の販売店で、ﾆﾝｼﾞﾝ１本の仕入れ値が８０円、販売価格が
　１２０円としたとき、売れ行きが伸びずこのままではかなりの売れ残りが
　見込まれるので、値引きをすることにしました。ちなみに、これまでの
　経験から値下げ率の倍の販売数量、たとえば１０％の値引きで２０％の
　販売増が見込まれるとします。
　値引率をａ％としたとき、利益ｇはどのように表されるでしょうか。

　まず、定価Ｐでの販売量を１として定価販売での利益Ｇを計算してみます。
　　Ｇ＝１×（１２０－８０）＝４０
　値引率ａ（％）での販売量は　（１＋２ａ／１００）、　１本当りの利益は
　（１２０（１－ａ／１００）－８０）となるので、値引率ａ（％）での利益ｇは
　　ｇ＝（１＋２ａ／１００）×（１２０（１－ａ／１００）－８０）
　　　＝（１＋０．０２ａ）（４０－１．２ａ）
　このように値引率ａの２次関数となります。　
　この関数ｇの変化の様子をグラフにしてみると、つぎのようになります。

　この結果によると、値引きによる販売量増で利益が増えることはありま
　せん。しかし販売量増によって商品をスムーズに捌くことができますね。