数Ｘの構造解析 その（１）
数の風景－２７ で見てきた自然対数の底 ｅ の式から数Ｘの計算式
が導かれます。
いくつかのＸ値について、ｎの値が100、1000、10000の場合について
この式を計算し、この式から得られた数値とＸ値との差を調べてみま
した。
このような一見わけの分からない計算は何を見ようとするものでしょ
うか。
実数Ｘをｅ の指数の位置に置いて計算した場合、Ｘ値とその分割数ｎ
によって計算結果にどのような誤差が発生するかを見るものです。
計算結果は、Ｘ値が０に近いときｅ の０乗付近での近似計算となり
ますが、このときが最も誤差は小さくなりました。またｎ値が大きい
ほど誤差は小さくなります。
結局、なぞだらけの素数
いささか素数に食傷ぎみになってきました。 最後にＸ値を実数領域
まで拡張して考えてみます。 Ｘがｅのｎ乗のとき、Ｘ以下の素数個数
比率はつぎのようにすっきりした分数形 １／（ｎ－１） になります。
以上の関係からも、素数の発生確率が自然対数の底ｅと密接に関
わっているのは疑いようがありません。
ところで、ここまでは Ｘ≧（ｅの２乗） の範囲で計算しています。では
０＜Ｘ＜（ｅの２乗） の範囲ではどうなるでしょうか。
ｅの0.1乗からｅの２乗まで0.1乗刻みでＸ値を変化させていき、素数個数
比率を計算しました。
計算結果は Ｘ＝（ｅの２乗） のとき １、Ｘがそれより小さくなるにしたが
って 徐々に大きくなっていき、Ｘ＝ｅ のとき ＋∞に発散し、Ｘがｅ より
小さくなった瞬間に－∞から出発して 最初は急速に、そしてしだいに
ゆっくりと上昇していき、 Ｘ＝（ｅの０乗）つまりＸ＝１ で－１を通過し、
Ｘ＜１に入ってさらにゆっくりと上昇していきます。
Ｘ＝ｅ のとき素数個数比率が±∞に発散してしまうのは 数式からの
帰結と言ってしまえばそれまでですが、この一連の変化をどう解釈
すればいいでしょうか。そもそも素数個数比率が１を超えるとは、どう
いうことでしょうか。 なぞは深まるばかりです。
素数個数比率の曲線は双曲線関数（ｙ＝１／ｘ）に類似している点が
見えるので、つぎにまとめてみました。ここに何らかの意味をつかむ
ヒントが隠れているかもしれません。
素数の正体は （３）
ここまで素数について考えてきたことをまとめてみます。
まず、正の整数Ｘに含まれる素数個数の推定式を Ｘ／（ ｌｏｇ Ｘ - 1）
として、この式から素数個数のイメージを描いてみます。
ここで、Ｘ＝１０ から Ｘ＝１００００ までのいくつかの数について
つぎのような手順に従って素数個数を計算してみます。
下線が引かれた数値は、数の風景－６４で見てきた素数個数比率
です。底を Ｘ／ｅ として ｅ の対数を計算した値で、Ｘ値が大きくなる
ほど、その値は小さくなります。
上の模式図では“ξ”で表されているもので、ξ＝１／（ ｌｏｇ×- 1）
の関係から、ｌｏｇ Ｘ は ｌｏｇ Ｘ ＝１＋１／ξ となります。
私はこの ξ＝素数個数比率 が「素数の素」とでも言うべき値だろう
と考えています。
いくつかのＸ値について、この値がどのように変化していくかを見て
みましょう。
繰り返しになりますが、これは整数Ｘの中に、Ｘ以下の素数が含まれ
る割合を示すグラフになっています。 そしてこのＸ倍が素数個数に
なります。
素数の正体は （２）
ここまで見てきた中で （ｌｏｇＸ－１） の形の式が意外なところに顔を出して
います。
それをつぎに整理してみます。
＜素数個数関数＞ ＜直交座標系＞ ＜微積分連鎖＞
１次元 Ｘ／（ｌｏｇＸ－１） Ｘ Ｘ（ｌｏｇＸ－１）
基底次元 １ ｌｏｇＸ
こう並べて１次元で比べてみると、＜素数個数関数＞ と ＜微積分連鎖＞
の積は ＜直交座標系＞ のＸの２乗に等しいことが分かります。
これをいくつかの整数 Ｘ について計算してみます。
このうち、Ｘ≦２０の範囲で１刻みで計算、Ｘ≦１０の範囲でグラフ表示して
みます。
ここで＜素数個数関数＞に換えて、前回見た＜素数個数比率＞として
整理しなおしてみます。
＜素数個数比率＞ ＜直交座標系＞ ＜微積分連鎖＞
１次元 １／（ｌｏｇＸ－１） Ｘ Ｘ（ｌｏｇＸ－１）
基底次元 １ ｌｏｇＸ
１次元で比べてみると、＜素数個数比率＞ と ＜微積分連鎖＞ の積は
＜直交座標系＞ のＸに等しくなることが分かります。
見方を変えれば、＜直交座標系＞を ＜微積分連鎖＞で割った値が
＜素数個数比率＞になります。
この関係をＸ≦１０の範囲でグラフ表示してみます。
素数の正体は （１）
ここまで素数の累積個数についてあれこれ見てきたけれど、肝心の素数の
正体については迫ることができていません。もっとよく理解することはできない
でしょうか。
前々回、素数個数推定値を Ｐ（ｎ）として、Ｐ（ｎ） ＝ ｎ／（ ｌｏｇ ｎ － 1）
を見てきました。
私はこの式を簡単に見過ごすことができません。もっとじっくり見てみたいと
思います。
ここからは自然数 ｎ を正の整数×に置き換えて、Ｐ（×） ＝ ×／（ ｌｏｇ×－ 1）
を素数個数関数として見ていきたいと思います。
この式は整数×に１／（ ｌｏｇ×－1）を掛けた形です。つまり１／（ ｌｏｇ×－1）
は整数×に対する「×以下の素数個数の比率」を示す値ということになります。
素数個数比率 1／（ ｌｏｇ×-－1）は、底を（×／ｅ ）としてつぎのように書き表さ
れます。
このように見てくると、素数は自然対数の底 ｅ と密接に関わって存在している
ことは間違いないようです。
素数の近似式（４）
Ｐ（ｎ） ＝ ｎ／（ ｌｏｇ ｎ - 1）
について見てきました。しかし、これは究極の推定式ではないような気も
します。そこで、誤差を小さくするべく試行錯誤の末、つぎの式にたどり
着きました。
Ｐ(n) =n/(log n - ( 1+1/(log n -1)))
この式で計算してみました。
結果は前回の計算結果と大差ないように見えます。しかしよく見るとつぎ
のような違いが判ります。
今回の計算結果の方が前回結果より
① ｎが小さい領域での誤差が大きい
② 誤差が＋から－に変わる点のｎ値が大きい
③ ｎが大きい領域での誤差が小さい
などです。
私は、この式はつぎのように無限に拡張できるのではないだろうか、と考え
ています。
Ｐ(n) =n/(log n - ( 1+1/(log n -(1+1/(log n -(1+1/(log n ・・・ ))))
そして拡張するたびに、上の①～③の傾向も引き続き現れるのではと推測
しています。
これは詳しく調べているわけではないので、あくまでも予想です。間違って
いるかもしれません・・・
