数の風景－１８

関数　　その（３）

　指数関数
　指数関数は通常、自然対数の底ｅの指数を変数ｘとして、つぎのように
　表されています。

　指数関数ｅのｘ乗は、微分や積分をしてもその関数の形が全く変わらず、ｅの
　ｘ乗のままであるという特別なものですね。
　その特別な数 ｅ の値は　ｅ　＝　２．７１８２８１８・・・　となっています。　

　対数関数
　ここでは対数はすべてｅを底とする自然対数とします。対数関数はつぎの
　ように表されていますね。
　　Ｙ＝ｌｏｇ Ｘ
　底ｅは必要に応じｌｏｇとＸの間に小さく書かれますが、通常省略されるかｌｎと
　書かれていますね。
　対数関数は上の指数関数と密接な関係にあって、つぎのようにＸとＹを交換
　すればその式は上の指数関数と全く同じ関係を意味します。
　　Ｘ＝ｌｏｇ Ｙ
　一般にＸとＹを交換した２つの式は　Ｙ＝Ｘ　という直線を中心線として対称に
　なります。つまり直線Ｘ＝Ｙを鏡として相手の関数を鏡に映る自分の姿として
　見ています。

　ここで問題です

　対数関数（底をｅとする）Ｙ＝ｌｏｇ Ｘ の値が Ｙ＝２ のとき、Ｙ＝Ｘ という直線を
　中心として対称な指数関数のＹの値はどうなりますか。

　　　答えは次回ブログで

数の風景－１７

関数　　その（２）

　文字式の計算
　計算は原則()の中を先に計算しますが、つぎのように展開して計算する
　こともできますね。
　（ａ＋ｂ）＋（ｃ＋ｄ）＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ
　（ａ－ｂ）－（ｃ－ｄ）＝ａ－ｂ－ｃ＋ｄ
　（ａ＋ｂ）×（ｃ＋ｄ）＝ａ×（ｃ＋ｄ）＋ｂ×（ｃ＋ｄ）＝ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ
　（ａ－ｂ）／（ｃ－ｄ）＝ａ／（ｃ－ｄ）－ｂ／（ｃ－ｄ）
　　
　ここで、実社会における関数応用の事例を考えてみます。
　生鮮食料品の販売店で、ﾆﾝｼﾞﾝ１本の仕入れ値が８０円、販売価格が
　１２０円としたとき、売れ行きが伸びずこのままではかなりの売れ残りが
　見込まれるので、値引きをすることにしました。ちなみに、これまでの
　経験から値下げ率の倍の販売数量、たとえば１０％の値引きで２０％の
　販売増が見込まれるとします。
　値引率をａ％としたとき、利益ｇはどのように表されるでしょうか。

　まず、定価Ｐでの販売量を１として定価販売での利益Ｇを計算してみます。
　　Ｇ＝１×（１２０－８０）＝４０
　値引率ａ（％）での販売量は　（１＋２ａ／１００）、　１本当りの利益は
　（１２０（１－ａ／１００）－８０）となるので、値引率ａ（％）での利益ｇは
　　ｇ＝（１＋２ａ／１００）×（１２０（１－ａ／１００）－８０）
　　　＝（１＋０．０２ａ）（４０－１．２ａ）
　このように値引率ａの２次関数となります。　
　この関数ｇの変化の様子をグラフにしてみると、つぎのようになります。

　この結果によると、値引きによる販売量増で利益が増えることはありま
　せん。しかし販売量増によって商品をスムーズに捌くことができますね。

数の風景－１６

関数　　その（１）

　前回、果物の数を管理するのにリンゴをＡ、ミカンをＯ、ナシをＰとして、３つの
　ダンボールで管理する例を考えました。
　ここでＡ，Ｏ，Ｐを単に数だけでなく、仕入費合計Ｔc、売上合計Ｔsとして管理する
　ことを考えます。
　仕入費については、それぞれの仕入れ単価をＣa、Ｃo、Ｃpとして、Ａc＝Ａ×Ｃa
　Ｏc＝Ｏ×Ｃo　Ｐc＝Ｐ×Ｃp　とし、合計値をＴcとして、Ｔc＝Ａc＋Ｏc＋Ｐc　
　とします。　ここでＡc　Ｏc　Ｐc　Ｔc　はすべて関数です。それに対してリンゴの
　数Ａ、ミカンの数Ｏ、ナシの数Ｐは変数です。これが文字通り時々刻々変わって
　いくわけですから、それをもとに計算されたそれぞれの関数の値も　次々刻々
　変わっていきます。
　売上合計Ｔsについても同じ要領で関数を作っていき、うまく利用して商品管理や
　経営の参考資料などに使うこともできますね。

　ｎ次関数
　以上は自然数をもとにした関数でしたが、実数の関数もいろいろありますね。
　ここでは変数ＸとＹがあり、ＹはＸの関数であるとします。
　まずＹ＝Ｘ＋２のようにＸの１乗のときＹはＸの１次関数、ＹがＸの２乗の関数の
　ときＹはＸの２次関数、そしてＹがＸの３次関数、４次関数・・・といろいろあり、
　それをまとめてＸのｎ次関数と呼びましょう。
　ｎは１から∞の間の自然数の場合とｎ＝０の場合があります。ｎ＝０の場合は
　Ｘの値が何であろうとＹ＝定数となります。また通常Ｘのｎ次の関数には（ｎ－１）
　次以下の低次の項も付随しています。　

　－ｎ次関数
　ｎの値が－１から－∞の間の負の整数の場合もありえますが、一般には　
　－ｎ次関数などという表現はあまり見かけません。これは＋ｎ次の関数を
　分数の分母に持ってくることでわざわざＸの負の高次関数というものを作る
　必要がないということだと思うのですが・・・。

　前回の答え

　　答えは実績の値にぴったりの文字式を表せばいいので、つぎのように
　なります。
　　釣れる魚の数Ｆ、重量Ｇ（単位：ｇ）として　　Ｆ＝５００／Ｇ

数の風景－１５

　文字数、文字式

　文字は数字ではありませんから文字そのもので計算できるわけではなくて、
　これはたとえば果物を入れるダンボール箱みたいなものですね。そのダン
　ボール箱には文字が書いてあり、リンゴと書いてあればリンゴしか入れること
　ができません。リンゴをＡ、ミカンをＯ、ナシをＰとして、それぞれ箱を用意し、
　箱の中の果物の数を管理するとします。ＡやＯやＰの数は時々刻々と変化
　します。

　合計数をＴとしてＴ＝Ａ＋Ｏ＋Ｐとしておき、その時々のＡとＯとＰの数を
　その文字に置き換えてやれば合計数が出てきます。
　このＡやＯやＰは文字数、Ｔ＝Ａ＋Ｏ＋Ｐ　は文字式です。

　
　ここで問題です

　堤防釣での過去の釣果から、５０ｇの魚は平均１０匹、、１００ｇは平均５匹、
　２００ｇは平均２．５匹、５００ｇは平均１匹の結果が得られたとします。
　魚の重量Ｇと釣れる数Ｆとの関係を表す文字式はどうなりますか。

　　　答えは次回ブログで

数の風景－１４

　黄金比　その（３）

　黄金比は自然界にもいろいろなところに隠されているとか。そこで自分も
　まわりの自然を探してみていくつかそれらしいものを見つけました。その
　1例として海辺に生えている植物（下の写真）の成長のパターンを数値化
　して調査してみました。

　

　茎の先端から葉っぱが出ている箇所（ここを第１節）までの長さを測り、つぎに
　第１節からつぎの第２節までの長さ、さらに第２節から・・・とつぎつぎに測定
　していきます。１０本の測定結果から平均値を出して、そこから「節間隔比」と
　「成長指数」を求めてみました。
　「節間隔比」は第１節と第２節の間隔を先端から第１節までの間隔で割り、節
　間隔比１とします。この要領で節間隔比２、３、４、・・・と計算していきます。
　「成長指数」は、節間隔比１を節間隔比２で割って成長指数１とします。この
　要領で成長指数２、３、４、・・・と計算していきます。

　その値をグラフ化してみました。ちょっとこじつけ感はありますが、少なくとも
　この測定結果においては、先端に近いほど成長指数が黄金比に近い値に
　なっていることが確認されました。いろいろな植物についてこのようなデータ
　を調べて比較してみるのも面白いかもしれません。

　

数の風景－１３

　黄金比　その（２）

　　多重根号の式からつぎのような方程式が導かれます。

　

　　また黄金比とその対の値の関係はつぎのように美しい関係が見られます。

  

　前回の答え

　　答えの１例です。
　　
　　　黄金比＝１＋１／黄金比

　　これは連分数を方程式に置き換えることで導かれます。

数の風景－１２

　黄金比　　その（１）　　１．６１８０３・・・

　このブログでもずっと前にフィボナッチ数の隣り合う数の比がこの黄金比
　になることに触れました。またつぎのような連分数や多重根号からも黄金比
　が得られることが関連の本で紹介されています。 

 　これを見ているとこの黄金比という美しい名前も納得できます。

　ここで問題です

　つぎの条件で、黄金比と１，２，・・・などの自然数を使って黄金比の等式を作って
　ください。

　　　黄金比＝

　条件：計算式には　＋　－　×　÷（または／）　＝　まで使っていいことにします。
　ヒント：上の連分数や多重根号をじっと見て回答を考えてください。

　　　答えは次回ブログで