微積分が途切れる？
ここで、 Ｙ＝log Ｘ という対数関数を考えてみます。この関数をＸによって微分
すると Ｙ＝１／Ｘ という式になります。
この式はＸの－１乗ですが、これ以降、上の微積分の関係式を用いてＸの－の
累乗の世界の微分をどこまでもやっていくことができます。
ただどうしても気にくわないのはＸの０乗で微積分の連鎖が一旦途切れてしまう
ことです。これはなんとかできないものでしょうか。
数の風景－２５
０，１，∞（無限大） 再び
数の風景－２２で ０，１，∞について見てきましたが、そこで見逃してきた
つぎのような関係について考えてみます。
０×∞ ０／∞ ∞／∞
まず ０×∞ について
０は ０ ＝ ｌｉｍ １／ｎ （ｎ：自然数） ∞は ∞＝ ｌｉｍ １／Ｘ
n→∞ x→0
Ｘ→０は Ｘ ＝ ｌｉｍ １／ｎ と表されるから
n→∞
∞は ∞＝１／（ｌｉｍ １／ｎ）
n→∞
したがって、０×∞ は
０×∞ ＝ ｌｉｍ １／ｎ × １／（ｌｉｍ １／ｎ）
n→∞ n→∞
＝ ｌｉｍ ｎ／ｎ
n→∞
＝ １ ・・・ （１）
０／∞ について
０／∞ ＝ ｌｉｍ １／ｎ ／（１／（ｌｉｍ １／ｎ））
n→∞ n→∞
＝ ｌｉｍ １／（ｎ×ｎ）
n→∞
＝ ０ ・・・ （２）
∞／∞ について
∞／∞ ＝ １／（ｌｉｍ １／ｎ） ／（１／（ｌｉｍ １／ｎ））
n→∞ n→∞
＝ ｌｉｍ ｎ／ｎ
n→∞
＝ １ ・・・ （３）
ここまではこれでいいのでしょうか。
じつはここで矛盾した結果が現れます。０×∞ について再度計算してみます。
（２）式から ０＝０／∞でもあるので ０×∞ は （０／∞）×∞ とも表され
ます。 したがって
０×∞ ＝ （０／∞）×∞
＝ ０×∞／∞ （３）式より ∞／∞ ＝ １ だから
＝ ０×１
＝ ０
となり、これは（１）式と矛盾します。
結局、０，１，∞は計算の結果を出すときに最後に一度だけどちらに収束する
かを判定することができるもので、計算の途中で四則演算をすることは原則
できないのではないでしょうか。 これは数学の世界では常識なのかもしれ
ませんが。
数の風景－２３
微分はＸの微小な変化にともなって関数Ｙの値がどのように変化していくかを
見るものですから、Ｘ－Ｙ平面上でＸの各点における関数Ｙの傾きの値を関数化
する作業になり、積分はその逆つまりＸ－Ｙ平面上でＸ＝０からＸまでの関数Ｙの
累積値を関数化する作業になります。
ここに Ｙ＝Ｘ という関数があるとします。 これはＸが１増加すればＹも１増加
するという関係を表しています。
この関数についてＸによる微分を行えば Ｙ＝１ という関数になります。
この式には変数Ｘがなくなっています。ということはこれ以上この関数をＸで微分
することはできないことになります。しかしこれでおしまいと言われても私はなん
だか釈然としません。
数の風景－２１
（Ｘ＋１）の累乗
Ｘの一次式（Ｘ＋１）を複数回掛けたらどういう式になるのでしょうか。数の少ない
方から少しずつ計算していきます。
各項の係数値はちょうど真ん中辺りが最も大きいことがわかります。（Ｘ＋１）の
ｎ乗のときの係数値はつぎのように知られていますね。
ｎＣｋは前回も触れましたが、異なるｎ個の中からｋ個を取り出して１セットの組み
合わせを作るとき、異なる組み合わせは最大何セット作れるかという計算を表す
表記で、「異なるｎ個からｋ個を取り出す組み合わせ数」ということになります。
実はこの辺りから先は私のよく知らない世界なので勝手に迷い込んでいきます。
私自身理解不足の部分も沢山あるので、クイズも回答も出せません。逆にもし
間違ったところがあれば教えて頂きたいです。
それでも自分の迷い込んでいる怪しげな小道もノートに収まっているだけでは
窮屈だろうということで、ブログに開放してみようと思います。
数の風景－２０
組み合わせ数
ナンバープレート
ここでナンバープレートの組み合わせ数について考えてみます。
０から９までの１０個の数字を使って４桁の番号札を作るとしたら ００００ から
９９９９ まで １００００個の札ができます。
この番号の組み合わせは各桁１０個の数字を選べますから４桁で
１０×１０×１０×１０ 通りの組み合わせができることはすぐに分かります。
順列
ここに１度使った数字は使えないという条件が加わると、組み合わせの数は
１０×９×８×７ 通りで合計５０４０通りになります。 これはつぎのようにも
計算できますね。
１０×９×８×７×６×５×４×３×２×１／（６×５×４×３×２×１）
このように1つずつ数を減らしながら１まで掛けていく計算方法を階乗といい、
その 値を！で表す約束になっているので、上の計算式は １０！／６！ と
なります。計算結果は５０４０通りとなりました。
これは順列と呼ばれていますね。
組み合わせ
ナンバープレートや順列の場合は、たとえば ２４５６ と ６２４５ とは
別物とみなされますが、使われている数字は同じです。数の並びの順序には関係
なく使われている数の組み合わせが同じものはみな同じと考えたとき、いく通り
の異なる数の組み合わせがあるかを計算するのが「組み合わせ」です。
０から９までの１０個の数字の中から異なる４個の数字を取り出せば、いく通り
の数の組み合わせを作ることができるでしょうか。 これには上の４桁の順列
の数 １０！／６！から同じ数の組み合わせを使った分を除かなければなり
ません。 異なる４個の数１セットを並べ替えてできる異なるプレート数は
４×３×２×１＝４！ となるので、求める組み合わせ数は １０！／６！／４！
となります。計算結果は２１０通りの組み合わせ数となりました。
一般にｎ個の異なるものの中からｋ個を取り出す組み合わせの数は
ｎＣｋ＝ｎ！／（（ｎ－ｋ）！ｋ！） と表されます。
以上を、つぎの３つの数の並びで確認してみます。 それぞれのグループに
入れる数の並びを○、入れない数の並びを×とすると、つぎのようになります。
ただし、グループ内には上の数が優先して入れるとします。
ナンバープレート 順列 組み合わせ
０１２３ ○ ０１２３ ○ ０１２３ ○
１０２３ ○ １０２３ ○ １０２３ ×
１１２３ ○ １１２３ × １１２３ ×
