徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-71

 Γ関数について(1)

 ここでこれまでに出てきていないいくつかの関数についてみていきます。
 Γ(ガンマ)関数はつぎのように表されています。

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 この関数は独特な性質を持っていて、Γ(z+1)=zΓ(z)という関係が
 あります。そこで複素数zを自然数nに置き換えれば、Γ(n+1)はつぎ
 のように表されます。

 Γ(n+1)=n(n-1)(n-2)(n-3)・・・3・2・1=n!

 この関数は単に階乗を作る作用だけではなく、もっと深く広い意味を
 持っているのではないかと思い、私なりに調べてみました。
 まず目に入ったのはこの関数の形です。まるで肉食動物が大顎で獲物
 を捕らえて噛み砕こうとしている姿に見えます。
 獲物は関数 tの(z-1)乗、大顎はその関数を鋏んでいる積分記号と
 eのーt乗以降dtまでの部分です。
 以下はΓ関数というよりその拡張形というべきものですが、大顎につか
 まる関数をtの(z-1)乗ではなく、もっと一般化して関数f(t)としたら
 どうなるか調べてみました。

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 Γ関数の大顎に鋏まれた関数f(t)は微積分によって細かく分解され、
 変数の部分には ∞と0 が入ってぼろぼろになってしまいます。

 

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