素数の近似式（３）
素数の近似式として取り上げた ｎの（２／ｅ）乗 は自然数ｎが１０００を
超える領域では誤差が急激に拡大してしまうという、致命的な欠陥が
みつかりました。そこでもっと大きいｎの領域でも精度の良い近似式は
ないか検討してみるべく、素数定理の式にたち返って探してみました。
その結果、素数定理の式と類似のつぎの式に到達しました。
自然数ｎまでの素数累計推定値をＰ(ｎ)とすると
Ｐ(ｎ) ＝ ｎ／（log ｎ - 1）
この式は理論的に導き出したものではなく、実測値 π(ｎ) に基づいて
出しました。
素数定理より、ｎ／log ｎ ～ π(ｎ) だから、logｎ ～ ｎ／π(ｎ) の
関係にあります。 （注）「～」 は 「近似」を表す
そこで、ｎ≦１０００の範囲で ｎ／π(ｎ) と log ｎ の値を見てみます。
ちなみにπ（ｎ）値の出典は「素数に憑かれた人たち」です。
つぎにｎ≧１０００の範囲で見てみます。
数字をよく見ると、自然数 ｎ が大きくなるにつれ、その対数 log ｎ と
ｎ／π(ｎ) とが log ｎ - ｎ／π(ｎ) ～ １ なる関係に近づくようです。
そこで上の各ｎについて log ｎ - ｎ／π(ｎ) を計算してみました。
素数個数π(ｎ)の推定値をＰ(ｎ)とおいて、 log ｎ - ｎ／Ｐ(ｎ) ＝ １
から Ｐ(ｎ) が求められました。
結果は自然数ｎ＞２００ではまずまずの精度になりました。グラフで
誤差率を見るとつぎのようになります。
（注）
これはフランスの数学者ルジャンドルが１８００年頃に発表した「数論」
の中に π（ｘ） ～ ｘ／（ ｌｏｇ ｘ - Ａ）
と記されているそうです。 Ａは定数で、ルジャンドルが与えた値は
Ａ ＝ １．０８３６６ だそうです。
「素数に憑かれた人たち」でも触れられていまますが、「明解 ゼータ
関数とリーマン予想」（ハロルド・Ｍ・エドワース著） の中で紹介され、
詳しく解説されています。 著者によると定数Ａの値は上の値でなけ
ればならない必然性はないとのことです。
どうも私は２００年ほど昔の世界をさ迷っていたことにやっと気付き
ました （笑）
