徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-56

 オイラー定数(2)


 前回、オイラー定数にふれましたが、これはどういうものか少し立ち入って
 調べてみます。

f:id:shurrow2005:20190316162612j:plain

 上の式にはΣの項がありますが、この項は 1/1+1/2+1/3+・・・
 という分数の和になっています。これは調和級数と呼ばれている分数和
 です。
 調和級数を1から1/nまで足していく作業を延々n=∞に向かってやって
 いき、そこから log n を引くとオイラー定数が現れます。
 分数の和の関数はなめらかな曲線にはなっていなくて、幅1の階段のよう
 になっています。

f:id:shurrow2005:20190316162907j:plain

 この関数から log n を引いた値がオイラー定数になるようです。グラフで
 表せばつぎのようになります。

f:id:shurrow2005:20190316163021j:plain

 図で 1/n の累計値から log n を引いた値は緑の線の長さで表されます。
 この値の推移を赤の曲線で表しました。 n→∞で究極のγ値、すなわち
 オイラー定数に収束するようです。

 

f:id:shurrow2005:20190316163158j:plain