徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-42

 オイラーの公式を用いた累乗、累乗根表示

 ここで複素数 A+iB についてオイラーの公式を用いて累乗、累乗根を計算
 してみます。

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 このように、オイラーの公式を応用することにより、無制限の種類の虚数の問題
 は回避されました。計算結果を図に表せばつぎのようになります。

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 累乗の場合は、2乗のときは角度Θが2Θに、その2乗は角度が4Θにと
 いうふうに、角度がどんどん大きくなっていきます。逆に累乗根の場合は、
 1/2乗のときは角度ΘがΘ/2に、その1/2乗は角度がΘ/4にという
 ふうに、角度が0に向かってどんどん小さくなっていきます。角度だけでなく
 辺の長さも変化します。aが1を超えるとき、累乗を重ねるほどに辺の長さは
 大きくなっていきます。逆に累乗根の場合は辺の長さはどんどん小さくなって
 いき、最終的にはeの0乗つまり1に収束します。

 

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