徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-40

 xをeのt乗で表す

 数の風景-10で、実数の複数回平方根をとるたびに別種の虚数記号が増え
 ていき収拾がつかなくなるのではと考えました。これについてはあとでじっくり
 考えるとして、とりあえず多くの種類の虚数を封印する方法がないかどうか考え
 てみます。 まず、数Xをeの指数で表すことで、2乗の繰り返しと平方根の繰り
 返しを行ってみて、この問題がどうなるか見てみます。

 

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 やはり同じように別種の虚数マークが際限なく増えていきます。
 考えてみれば当前のことで、Xを単にeの指数に切り替えただけでは実数aと同じ
 ようにeの前にいろいろな虚数マークが現れてくるだけです。

 この問題の解決には「オイラーの公式」に頼らざるをえないのではないでしょうか。
 実数Xまたはそれを含む複素数をeの指数に変換した後、「eも含めてまるごと」
 平方根をとるのではなく、その平方根を「eの指数に対して」とることにより、計算
 結果もeの指数の世界に留まらせようとするのです。また、ド・モアブルの定理も
 eの指数の計算の範疇に入ると考えます。

 

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