徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-33

分割数を∞に近づけていくと πの素 はどうなる(1)

  ここからはnを分割回数ではなくて図のようにπの分割数nとして考えていきます。
 分割された扇形に対応する三角形は向かい合う2つの直角三角形に分割され
 ますが、その直角三角形の原点部の角度は分割数nが大きくなるほど0に近づい
 ていきます。この角度はπ/2nですが、これをΘとしたとき分割数nが大きくなる
 ほどΘは0に近づいていきます。
 角度Θを限りなく0に近づけていくと、sinΘはΘにどんどん近づいていき、つい
 には等しくなっていくとされていますが、これはつぎのように説明できます。

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 角度Θを限りなく0に近づけていくとsinΘとΘは等しくなっていくことが確かめられ
 ました。 となれば、cosΘはつぎのようになります。

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 ここで根号の中を見ると、1-(Θの2乗)となっています。Θはπ/2nだから
 (Θの2乗)は((π/2n)の2乗)であり、n→∞で0×0となります。もうこれは0
 とみなして差し支えないでしょう。結局、πのn→∞分割でcosΘは1に収束する
 ということになります。

 

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