分割数を∞に近づけていくと πの素 はどうなる(1)
ここからはnを分割回数ではなくて図のようにπの分割数nとして考えていきます。
分割された扇形に対応する三角形は向かい合う2つの直角三角形に分割され
ますが、その直角三角形の原点部の角度は分割数nが大きくなるほど0に近づい
ていきます。この角度はπ/2nですが、これをΘとしたとき分割数nが大きくなる
ほどΘは0に近づいていきます。
角度Θを限りなく0に近づけていくと、sinΘはΘにどんどん近づいていき、つい
には等しくなっていくとされていますが、これはつぎのように説明できます。
角度Θを限りなく0に近づけていくとsinΘとΘは等しくなっていくことが確かめられ
ました。 となれば、cosΘはつぎのようになります。
ここで根号の中を見ると、1-(Θの2乗)となっています。Θはπ/2nだから
(Θの2乗)は((π/2n)の2乗)であり、n→∞で0×0となります。もうこれは0
とみなして差し支えないでしょう。結局、πのn→∞分割でcosΘは1に収束する
ということになります。