０，１，∞（無限大） 再び
数の風景－２２で ０，１，∞について見てきましたが、そこで見逃してきた
つぎのような関係について考えてみます。
０×∞ ０／∞ ∞／∞
まず ０×∞ について
０は ０ ＝ ｌｉｍ １／ｎ （ｎ：自然数） ∞は ∞＝ ｌｉｍ １／Ｘ
n→∞ x→0
Ｘ→０は Ｘ ＝ ｌｉｍ １／ｎ と表されるから
n→∞
∞は ∞＝１／（ｌｉｍ １／ｎ）
n→∞
したがって、０×∞ は
０×∞ ＝ ｌｉｍ １／ｎ × １／（ｌｉｍ １／ｎ）
n→∞ n→∞
＝ ｌｉｍ ｎ／ｎ
n→∞
＝ １ ・・・ （１）
０／∞ について
０／∞ ＝ ｌｉｍ １／ｎ ／（１／（ｌｉｍ １／ｎ））
n→∞ n→∞
＝ ｌｉｍ １／（ｎ×ｎ）
n→∞
＝ ０ ・・・ （２）
∞／∞ について
∞／∞ ＝ １／（ｌｉｍ １／ｎ） ／（１／（ｌｉｍ １／ｎ））
n→∞ n→∞
＝ ｌｉｍ ｎ／ｎ
n→∞
＝ １ ・・・ （３）
ここまではこれでいいのでしょうか。
じつはここで矛盾した結果が現れます。０×∞ について再度計算してみます。
（２）式から ０＝０／∞でもあるので ０×∞ は （０／∞）×∞ とも表され
ます。 したがって
０×∞ ＝ （０／∞）×∞
＝ ０×∞／∞ （３）式より ∞／∞ ＝ １ だから
＝ ０×１
＝ ０
となり、これは（１）式と矛盾します。
結局、０，１，∞は計算の結果を出すときに最後に一度だけどちらに収束する
かを判定することができるもので、計算の途中で四則演算をすることは原則
できないのではないでしょうか。 これは数学の世界では常識なのかもしれ
ませんが。
