徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-20

 組み合わせ数

ナンバープレート
 ここでナンバープレートの組み合わせ数について考えてみます。
 0から9までの10個の数字を使って4桁の番号札を作るとしたら 0000 から
 9999 まで 10000個の札ができます。
 この番号の組み合わせは各桁10個の数字を選べますから4桁で 
 10×10×10×10 通りの組み合わせができることはすぐに分かります。


順列
 ここに1度使った数字は使えないという条件が加わると、組み合わせの数は
 10×9×8×7 通りで合計5040通りになります。 これはつぎのようにも
 計算できますね。
 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1/(6×5×4×3×2×1)
 このように1つずつ数を減らしながら1まで掛けていく計算方法を階乗といい、
 その 値を!で表す約束になっているので、上の計算式は 10!/6! と
 なります。計算結果は5040通りとなりました。
 これは順列と呼ばれていますね。

組み合わせ
 ナンバープレートや順列の場合は、たとえば 2456 と 6245 とは
 別物とみなされますが、使われている数字は同じです。数の並びの順序には関係
 なく使われている数の組み合わせが同じものはみな同じと考えたとき、いく通り
 の異なる数の組み合わせがあるかを計算するのが「組み合わせ」です。
 0から9までの10個の数字の中から異なる4個の数字を取り出せば、いく通り
 の数の組み合わせを作ることができるでしょうか。 これには上の4桁の順列
 の数 10!/6!から同じ数の組み合わせを使った分を除かなければなり
 ません。 異なる4個の数1セットを並べ替えてできる異なるプレート数は
 4×3×2×1=4! となるので、求める組み合わせ数は 10!/6!/4! 
 となります。計算結果は210通りの組み合わせ数となりました。
 一般にn個の異なるものの中からk個を取り出す組み合わせの数は
 nCk=n!/((n-k)!k!) と表されます。

 以上を、つぎの3つの数の並びで確認してみます。 それぞれのグループに
 入れる数の並びを○、入れない数の並びを×とすると、つぎのようになります。
 ただし、グループ内には上の数が優先して入れるとします。

  ナンバープレート      順列           組み合わせ   
   0123   ○    0123   ○      0123   ○  
   1023   ○    1023   ○      1023   ×
   1123   ○    1123   ×      1123   ×

 

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