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徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

<第20回>フィボナッチ数列周辺  バラでも見ながら・・・証明後半

 
<証明(後半)>
 F[s-1,s+1]≡ F(X1+Xs+1)について
この証明は必要条件と十分条件の双方から行います。
まず必要条件として、両辺の数列の構造式から算出された隣り合う項の比
が同じであることの証明を行います。
 まず右辺から、
 F(X1+Xs+1)の構造式は 証明(前半)の模式図で ▼=△+◆ と表され
 ました。これを文字式に置き換えると ▼=X0、△=X1、◆=Xs+1 として
 X0=X1+Xs+1  ・・・・・ ①
 と表されます。この両辺をXs+1で割れば
 X0/Xs+1=X1/Xs+1+1
 ここで隣り合う項の比がrであるとすると
 X1/Xs+1=(X1/X2)(X2/X3)(X3/X4)・・・(Xs-1/Xs)(Xs/Xs+1)
      =r↑s
 X0/Xs+1=rX1/Xs+1=r↑s+1 なので
 r↑s+1-r↑s-1=0  ・・・・・ ②
 となります。↑s+1はs+1乗、↑sはs乗を表します。この式の解が求める
 rの値です。
 つぎに左辺から、
 F[s-1,s+1]の構造式を求めるために模式図を書きます。
 1 1 ・・・ □ ■ ・・・ ■ □ ・・・ □ ▲
 □の間の■の数はs+1個です。また■と▲の間の□の数はs-1個です。
 これを文字式で表します。▲=X0、その左隣から順にX1、X2、・・・と
 文字を割り当てます。▲は■の総和ですから文字式ではつぎのように表され
 ます。
 X0=Xs+Xs+1+Xs+2+・・・+X2s   ・・・・・ ③
 ここでも隣り合う項の比をrとするとこの式はつぎのように変形できます。
 r↑2s・X2s=(r↑s+r↑s-1+r↑s-2+・・・+r+1)X2s
 両辺をX2sで割って
 r↑2s=(r↑s+r↑s-1+r↑s-2+・・・+r+1)
 両辺にrを掛けて
 r↑2s+1=(r↑s+1+r↑s+r↑s-1+・・・+r↑2+r)
 上の2式よりつぎの式が得られます。
 r↑2s+1-r↑2s=r↑s+1-1
 両辺に-r↑sを加えます。
 r↑2s+1-r↑2s-r↑s=r↑s+1-r↑s-1 この式を整理すると
 (r↑s-1)(r↑s+1-r↑s-1)=0
 r↑s-1>0なのでrの値はつぎの式の解となります。
 r↑s+1-r↑s-1=0  ・・・・・ ④
 ④式は②式と同じなので、その解であるrの値も同じです。これで必要
 条件は満たされました。
つぎに十分条件として、2つの構造式①、③が同じ数の並びを示すことを確か
めます。
 全体を1つずらしても数列の構造に変化はないから、構造式③はつぎのよう
 にも表すことができます。
 X1=Xs+1+Xs+2+Xs+3+・・・+X2s+1   ・・・・・ ⑤
 また構造式①式より
 X1=X0-Xs+1   ・・・・・ ⑥
 構造式①と②が同じ数列を表すのなら、式⑤、⑥よりつぎのように表されます。
 X0-Xs+1=Xs+1+Xs+2+Xs+3+・・・+X2s+1 これよりX0は
 X0=Xs+1+Xs+2+Xs+3+・・・+X2s+1+Xs+1 と表されます。この式に
 ⑤式の関係を加えてつぎの式を得ます。
 X0=X1+Xs+1
 つまり①式になりました。これで構造式①と③が同じ数列を作ることが証明され
 ました。
以上から「 F[s,∞]≡ F[s-1,s+1]≡ F(X1+Xs+1) 」は
予想ではなく、正しいと言い切っていいのではないかと思います。

後は次回へ