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徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

<第19回>フィボナッチ数列周辺  バラでも見ながら・・・証明前半

今年は虫の発生が少なく、花が綺麗に咲きました。
 
 
ところで、先の予想
「 F[s,∞]≡ F[s-1,s+1]≡ F(X1+Xs+1) 」
について証明を試みましたので掲載します。
証明は F[s,∞]≡ F(X1+Xs+1) を前半に
F[s-1,s+1]≡ F(X1+Xs+1) を後半に行い、
前半・後半共に証明されたらこの予想は正しいと認められると考えます。
<証明(前半)>
 F[s,∞]≡ F(X1+Xs+1)について
これは模式図で確認します。
 F[s,∞]は 1 1 ・・・■ □・・・□ ▲ の数の並びで
 ▲=1+1+・・・+■ という関係にあります。
 スキップする□の数はs個です。
 上の数列にさらに数を書き加えるとします。この場合、新しく書き加える
 数を▼とすると、模式図はつぎのように表されます。
 1 1 ・・・ ■ ◆ □ ・・・ □ △ ▼ 
 元の模式図の■の右隣の□は、新しい模式図では◆で表し、□はその右
 から始めます。これで□の数は1つ少なくなりました。その代わりに
 元の▲は△で表し、スキップする数に加えます。結局、スキップする数は
 前と同じs個になりました。
 ここで▼はつぎのように表されます。
 ▼=1+1+・・・+■+◆
 さて 1+1+・・・+■ の値は▲でしたが、新しい模式図では△です。
 その値は元と同じなので、△=▲=1+1+・・・+■ です。
 したがって、▼=△+◆ であることが確認されました。これを文字式
 で表すと△=X1、◆=Xs+1ですので この数列は F(X1+Xs+1)
 でもあるということが確認されました。
 
 

後半は次回へ