今年は虫の発生が少なく、花が綺麗に咲きました。
ところで、先の予想
「 F[s,∞]≡ F[s-1,s+1]≡ F(X1+Xs+1) 」
について証明を試みましたので掲載します。
証明は F[s,∞]≡ F(X1+Xs+1) を前半に
F[s-1,s+1]≡ F(X1+Xs+1) を後半に行い、
前半・後半共に証明されたらこの予想は正しいと認められると考えます。
「 F[s,∞]≡ F[s-1,s+1]≡ F(X1+Xs+1) 」
について証明を試みましたので掲載します。
証明は F[s,∞]≡ F(X1+Xs+1) を前半に
F[s-1,s+1]≡ F(X1+Xs+1) を後半に行い、
前半・後半共に証明されたらこの予想は正しいと認められると考えます。
<証明(前半)>
F[s,∞]≡ F(X1+Xs+1)について
F[s,∞]≡ F(X1+Xs+1)について
これは模式図で確認します。
F[s,∞]は 1 1 ・・・■ □・・・□ ▲ の数の並びで
▲=1+1+・・・+■ という関係にあります。
スキップする□の数はs個です。
上の数列にさらに数を書き加えるとします。この場合、新しく書き加える
数を▼とすると、模式図はつぎのように表されます。
1 1 ・・・ ■ ◆ □ ・・・ □ △ ▼
元の模式図の■の右隣の□は、新しい模式図では◆で表し、□はその右
から始めます。これで□の数は1つ少なくなりました。その代わりに
元の▲は△で表し、スキップする数に加えます。結局、スキップする数は
前と同じs個になりました。
ここで▼はつぎのように表されます。
▼=1+1+・・・+■+◆
さて 1+1+・・・+■ の値は▲でしたが、新しい模式図では△です。
その値は元と同じなので、△=▲=1+1+・・・+■ です。
したがって、▼=△+◆ であることが確認されました。これを文字式
で表すと△=X1、◆=Xs+1ですので この数列は F(X1+Xs+1)
でもあるということが確認されました。
F[s,∞]は 1 1 ・・・■ □・・・□ ▲ の数の並びで
▲=1+1+・・・+■ という関係にあります。
スキップする□の数はs個です。
上の数列にさらに数を書き加えるとします。この場合、新しく書き加える
数を▼とすると、模式図はつぎのように表されます。
1 1 ・・・ ■ ◆ □ ・・・ □ △ ▼
元の模式図の■の右隣の□は、新しい模式図では◆で表し、□はその右
から始めます。これで□の数は1つ少なくなりました。その代わりに
元の▲は△で表し、スキップする数に加えます。結局、スキップする数は
前と同じs個になりました。
ここで▼はつぎのように表されます。
▼=1+1+・・・+■+◆
さて 1+1+・・・+■ の値は▲でしたが、新しい模式図では△です。
その値は元と同じなので、△=▲=1+1+・・・+■ です。
したがって、▼=△+◆ であることが確認されました。これを文字式
で表すと△=X1、◆=Xs+1ですので この数列は F(X1+Xs+1)
でもあるということが確認されました。
後半は次回へ