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徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

<第17回>フィボナッチ数列周辺  隣り合う数の比について

 フィボナッチ数は隣り合う数の比が1.61803・・・という値になりますが、この値
黄金比と呼ばれていますね。
実はこれまで扱ってきたすべての数列は、隣り合う数の比がそれぞれの決まった
値に収斂します。
数列 F[s,c]のいくつかについてその値を計算してみます。
計算はフィボナッチ数(F[0,2])を例にとると、つぎのように行いました。
  1  1  2  3 ・・・  □  ■  ■  ▲
図で■を合計して▲になるわけですから、最初の■をA、つぎの■をB、そして
▲をCとすると A+B=C となります。隣り合う数の比は一定になるので、
その値をrとおくと、上の式は A+rA=rrA となります。この式を整理
すると rr-r-1=0 となります。 これをrについて解きます。
同様に、他の数列についても数列の構造をrの高次の方程式で表して解を求めま
す。(細かい計算の説明は省きます)
ここではスキップ数s=0の数列について計算してみました。
フィボナッチ数 F[0,2]  1.61803
トリボナッチ数 F[0,3]  1.83928
テトラナッチ数 F[0,4]  1.92756
          F[0,5]  1.96594
       F[0,6]  1.98358
  ・・・    ・・・    ・・・
       F[0,∞]  2.0
この場合、各項の比は黄金比から始まって2で終わりました。(正確にはc=1
のときの値1から始まるというべきですが)
後は次回へ