徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-114

いろいろな数をe の指数で表示 ここまでオイラーの公式の数々の素晴らしい働きを見てきました。 その式は、e の虚数 i 乗の形をしています。 私たちが普段使っているいろいろな数は、オイラーの公式を用い ればどのように表されるでしょうか。 自然数はつ…

数の風景-113

e のjθ乗について 今回はeの指数が虚数 j の場合について計算を行います。 j の場合は、数の風景-84で見てきた(R+i)形への変換を行い、 その累乗がどのような動きをするかを見ます。 j は e の i(π/4)乗だから、ここでは j の累乗を10乗…

数の風景-112

e のiθ乗について オイラーの公式では三角関数に変換して計算しますが、ここでは eの指数が虚数(iθ) の場合について、数の風景-27で見てきた eの式を使って四則演算で計算を行い、オイラーの公式による計算 結果と一致するかどうか検証してみます…

数の風景-111

位相を合わせて小分け関数を合算してみる(2) 今回は前回と同じサンプル関数、同じ手順で、各次-1 と 各次+i の2つの小分け関数について計算してみます。 前回計算手順③④の結果をつぎのようにまとめました。 上の2つの計算結果も前回と同じになりまし…

数の風景-110

位相を合わせて小分け関数を合算してみる(1) 数の風景-104以降6回にわたって、小分け関数の計算をして きました。 ここでは小分けした各関数について同じX値で計算した値を全て 合算すると、元の関数を同じX値で計算した値に等しくなるのか どうか…

数の風景-109

高次方程式の小分け関数解(別解-2) ここで前回の手法を使って、前々回の関数サンプルについて解を 求めてみます。 これを各次数の関数に小分けして、各関数の解を求めます。 まず、各次±1 の小分けから計算してみます。 下線部各項の値が0となるX値を…

数の風景-108

高次方程式の小分け関数解(別解-1) Xのn次方程式を小分けするもっと簡単な方法をさぐってみました。 各次数別に小分けしてしまう方法です。その準備として、Xのn次 方程式をつぎのように変形します。 上のn次方程式を各次数別に小分けにします。こ…

数の風景-107

高次方程式の小分け関数解(4) 前回の小分け関数を行列の形で表してみます。 同様に、数の風景-97で見てきた関数のサンプルを行列の形で 表します。 ここで、これまでの手法を使って、このサンプルの解を求めます。 すべての小分け関数について解が得ら…

数の風景-106

高次方程式の小分け関数解(3) 前回、n次方程式を小分けしました。それらの関数はすべてXの 係数が1になっています。 今回は下線部の各関数の解を求めます。 この形の関数の解は 数の風景-90で扱っています。そこで求めた解を各関数に割り 当てます…

数の風景-105

高次方程式の小分け関数解(2) ここではXのn次方程式を、数の風景-90で見た形のn次以下 の各方程式に小分けする方法について考えます。 n次の項は1なので、定数項を含め、すべての項を1にします。 つぎに(n-1)次の項の係数はa1なので、(n…

数の風景-104

高次方程式の小分け関数解(1) 一般的なXの高次方程式をn個の解の積の形にもっていければ 最高なのですが、ここまで見てきたように、実数、虚数ともに0 になる完全な零点はほぼ見つかりません。 そこで、今度は和の形での解法を目指してみましょう。 こ…

数の風景-103

閑話休題(4) 実数解と虚数解 高次方程式の解についてここまで見てきた限りでは、特別な形の 式を除いてR,i共に0となる完全な零点はほぼ見つかりません。 このことは物理の世界のいろいろな現象を連想させます。 つぎのようなコイルに交流電圧Vを印加…

数の風景-102

一般の高次式の解法を特別な形の高次式に適用(2) 今回は、数の風景-92で対象にした高次式について計算して みます。 数の風景-92で扱った式のうち、つぎの2つについて一般の 高次式に適用した方法で再度計算してみます。 ここでは理解を深めるため…

数の風景-101

一般の高次式の解法を特別な形の高次式に適用(1) 一般の高次方程式に用いた解法を、数の風景-90で対象にした 係数および定数項がすべて1の高次方程式に用いたらどうなるか ここで確かめてみます。 数の風景-97でおこなったのと同じ方法で、それぞ…

数の風景-100

高次方程式の零点を作る(2) 前回、定数項を変更する方法で零点を作ることができました。 今回は前々回の7次方程式で、θ=12π/20付近での零点 探査結果をもとに、虚数iの定数値を加えることにより、零点を 作ってみます i値を加えることにより完全な零…

数の風景-99

高次方程式の零点を作る(1) 一般にX値をある値Aとするとき、その値をXに入れて関数f(x) を 計算したとき f(A) となりますが、この値を0にするには元の関数 の定数項をつぎのように変更すればいいことになります。 f(A) の値は定数なので、この…

数の風景-98

一般の高次方程式の解法(6) 前回の計算結果から、θ=12π/20付近とθ=28π/20付近 にR,i共に0に近い点があるようです。 R,i共に0なら、完全な零点と考えられますが、はたしてそうで しょうか。 数の風景-94で行った方法で調べてみました。 結…

数の風景-97

一般の高次方程式の解法(5) ここでもう少し次数の低い方程式の解について、つぎのサンプルで 見てみましょう。 零点のありかを探すのに、今回は2πを40分割して、それぞれの ポイントで関数値を計算してみます。 計算の方法は簡単で、つぎの手順で進めま…

数の風景-96

一般の高次方程式の解法(4) 前回の変形後の式が誤っていないかチェックしてみました。 計算の結果、数値の誤差は少し発生しますが問題なく元の 12次式に戻るようです。 ここまできたら、このほかにまだ実数の零点があるのか調べ てみたくなりました。10次…

数の風景-95

一般の高次方程式の解法(3) 前回、得られた2つの実数解を θ1,θ2 として、高次式を (X-cosθ1)(X-cosθ2)(Xの(n-2)次式)=0 の形に 変形します。 この例について、まずcosθ1 の場合から計算してみます。 12次式から11次式への変形後の関…

数の風景-94

一般の高次方程式の解法(2) 前回の零点探査で、実数、虚数共に0になるX値は見つかりません でした。しかし、実数、虚数別々になら零点がありそうです。そこで 実数について零点がありそうな箇所に焦点を絞って、零点探査を してみたいと思います。 この…

数の風景-93

一般の高次方程式の解法(1) ここまで、ある決まった形の高次方程式の解を求めてきましたが やはり、最終的には一般的な形の高次方程式の解について考え てみたくなります。 そこで、最高次の係数が1で、それより小さい次数の係数および 定数項は任意の値…

数の風景-92

n次方程式をオイラーの公式を用いて解く(3) ここでは、別の簡単な形の高次方程式でその解を求めてみます。 式はつぎの2つにしました。 この解をつぎのように求めました。 さらに、つぎの4つの高次方程式でその解を求めてみます。 この解をつぎのように…

数の風景-91

n次方程式をオイラーの公式を用いて解く(2) 前回、ここで取り上げている形のXのn次方程式についてオイラーの 公式を用いて解を求める方法を考えましたが、今回はこれを使って Xの3次方程式と4次方程式の解を求めてみます。 まず、Xの3次方程式で…

数の風景-90

n次方程式をオイラーの公式を用いて解く(1) Xの4次方程式の解 a,b,c ,dについては、数の風景-81で計算 を試みましたが、まだ解が得られていません。 そこで4次式だけでなく、この形の高次方程式全ての次数について オイラーの公式を援用し…

数の風景-89

3次方程式解(数の風景-80)を(R+i)形へ Xの3次方程式の解 a,b,c の3つの組合せを図で表すことを目標に、 数の風景-82から前回まで、多種類の虚数の表示と計算について 整理してきました。 やっとその作業が終わったので、解 a,b,c …

数の風景-88

各虚数の整理と表示(7) 虚数記号での計算結果と(R+i)形での計算結果の間に矛盾が発生 しなければ、両者は何の制限もなく相補的に計算可能となります。 これまでの検証結果では矛盾は発生せず、両者は制限なく相補的に 計算可能といえるようです。 そ…

数の風景-87

各虚数の整理と表示(6) 今回は(1+j )の累乗の計算を行ってみます。計算は2つの方法で 行います。 方法A 虚数記号で計算を行って展開式を簡素化し、最後に(R+i)形にする 方法B 最初から(R+i) 形で計算する 方法AとBで結果が一致するか…

数の風景-86

各虚数の整理と表示(5) 前回に引き続き今度はランダムに掛け算、割り算をして、虚数記号 の計算結果と (R+i)の計算結果とに矛盾がないかチェックしていき ます。 まず掛け算です。 つぎに割り算を見てみます。 ここまで特に問題は見られませんでした…

数の風景-85

各虚数の整理と表示(4) 前回多くの虚数を (R+i)の形で表すことができました。しかし変換され た 実数と虚数iの和 が元の各虚数の代わりとして何の問題もなく機能 するかどうかは、いろいろ試してみて確認していく必要があります。 まず、各虚数記号…