いろいろな数をe の指数で表示 ここまでオイラーの公式の数々の素晴らしい働きを見てきました。 その式は、e の虚数 i 乗の形をしています。 私たちが普段使っているいろいろな数は、オイラーの公式を用い ればどのように表されるでしょうか。 自然数はつ…
e のjθ乗について 今回はeの指数が虚数 j の場合について計算を行います。 j の場合は、数の風景-84で見てきた(R+i)形への変換を行い、 その累乗がどのような動きをするかを見ます。 j は e の i(π/4)乗だから、ここでは j の累乗を10乗…
e のiθ乗について オイラーの公式では三角関数に変換して計算しますが、ここでは eの指数が虚数(iθ) の場合について、数の風景-27で見てきた eの式を使って四則演算で計算を行い、オイラーの公式による計算 結果と一致するかどうか検証してみます…
位相を合わせて小分け関数を合算してみる(2) 今回は前回と同じサンプル関数、同じ手順で、各次-1 と 各次+i の2つの小分け関数について計算してみます。 前回計算手順③④の結果をつぎのようにまとめました。 上の2つの計算結果も前回と同じになりまし…
位相を合わせて小分け関数を合算してみる(1) 数の風景-104以降6回にわたって、小分け関数の計算をして きました。 ここでは小分けした各関数について同じX値で計算した値を全て 合算すると、元の関数を同じX値で計算した値に等しくなるのか どうか…
高次方程式の小分け関数解(別解-2) ここで前回の手法を使って、前々回の関数サンプルについて解を 求めてみます。 これを各次数の関数に小分けして、各関数の解を求めます。 まず、各次±1 の小分けから計算してみます。 下線部各項の値が0となるX値を…
高次方程式の小分け関数解(別解-1) Xのn次方程式を小分けするもっと簡単な方法をさぐってみました。 各次数別に小分けしてしまう方法です。その準備として、Xのn次 方程式をつぎのように変形します。 上のn次方程式を各次数別に小分けにします。こ…
高次方程式の小分け関数解(4) 前回の小分け関数を行列の形で表してみます。 同様に、数の風景-97で見てきた関数のサンプルを行列の形で 表します。 ここで、これまでの手法を使って、このサンプルの解を求めます。 すべての小分け関数について解が得ら…
高次方程式の小分け関数解(3) 前回、n次方程式を小分けしました。それらの関数はすべてXの 係数が1になっています。 今回は下線部の各関数の解を求めます。 この形の関数の解は 数の風景-90で扱っています。そこで求めた解を各関数に割り 当てます…
高次方程式の小分け関数解(2) ここではXのn次方程式を、数の風景-90で見た形のn次以下 の各方程式に小分けする方法について考えます。 n次の項は1なので、定数項を含め、すべての項を1にします。 つぎに(n-1)次の項の係数はa1なので、(n…
高次方程式の小分け関数解(1) 一般的なXの高次方程式をn個の解の積の形にもっていければ 最高なのですが、ここまで見てきたように、実数、虚数ともに0 になる完全な零点はほぼ見つかりません。 そこで、今度は和の形での解法を目指してみましょう。 こ…
閑話休題(4) 実数解と虚数解 高次方程式の解についてここまで見てきた限りでは、特別な形の 式を除いてR,i共に0となる完全な零点はほぼ見つかりません。 このことは物理の世界のいろいろな現象を連想させます。 つぎのようなコイルに交流電圧Vを印加…
一般の高次式の解法を特別な形の高次式に適用(2) 今回は、数の風景-92で対象にした高次式について計算して みます。 数の風景-92で扱った式のうち、つぎの2つについて一般の 高次式に適用した方法で再度計算してみます。 ここでは理解を深めるため…
一般の高次式の解法を特別な形の高次式に適用(1) 一般の高次方程式に用いた解法を、数の風景-90で対象にした 係数および定数項がすべて1の高次方程式に用いたらどうなるか ここで確かめてみます。 数の風景-97でおこなったのと同じ方法で、それぞ…
高次方程式の零点を作る(2) 前回、定数項を変更する方法で零点を作ることができました。 今回は前々回の7次方程式で、θ=12π/20付近での零点 探査結果をもとに、虚数iの定数値を加えることにより、零点を 作ってみます i値を加えることにより完全な零…
高次方程式の零点を作る(1) 一般にX値をある値Aとするとき、その値をXに入れて関数f(x) を 計算したとき f(A) となりますが、この値を0にするには元の関数 の定数項をつぎのように変更すればいいことになります。 f(A) の値は定数なので、この…
一般の高次方程式の解法(6) 前回の計算結果から、θ=12π/20付近とθ=28π/20付近 にR,i共に0に近い点があるようです。 R,i共に0なら、完全な零点と考えられますが、はたしてそうで しょうか。 数の風景-94で行った方法で調べてみました。 結…
一般の高次方程式の解法(5) ここでもう少し次数の低い方程式の解について、つぎのサンプルで 見てみましょう。 零点のありかを探すのに、今回は2πを40分割して、それぞれの ポイントで関数値を計算してみます。 計算の方法は簡単で、つぎの手順で進めま…
一般の高次方程式の解法(4) 前回の変形後の式が誤っていないかチェックしてみました。 計算の結果、数値の誤差は少し発生しますが問題なく元の 12次式に戻るようです。 ここまできたら、このほかにまだ実数の零点があるのか調べ てみたくなりました。10次…
一般の高次方程式の解法(3) 前回、得られた2つの実数解を θ1,θ2 として、高次式を (X-cosθ1)(X-cosθ2)(Xの(n-2)次式)=0 の形に 変形します。 この例について、まずcosθ1 の場合から計算してみます。 12次式から11次式への変形後の関…
一般の高次方程式の解法(2) 前回の零点探査で、実数、虚数共に0になるX値は見つかりません でした。しかし、実数、虚数別々になら零点がありそうです。そこで 実数について零点がありそうな箇所に焦点を絞って、零点探査を してみたいと思います。 この…
一般の高次方程式の解法(1) ここまで、ある決まった形の高次方程式の解を求めてきましたが やはり、最終的には一般的な形の高次方程式の解について考え てみたくなります。 そこで、最高次の係数が1で、それより小さい次数の係数および 定数項は任意の値…
n次方程式をオイラーの公式を用いて解く(3) ここでは、別の簡単な形の高次方程式でその解を求めてみます。 式はつぎの2つにしました。 この解をつぎのように求めました。 さらに、つぎの4つの高次方程式でその解を求めてみます。 この解をつぎのように…
n次方程式をオイラーの公式を用いて解く(2) 前回、ここで取り上げている形のXのn次方程式についてオイラーの 公式を用いて解を求める方法を考えましたが、今回はこれを使って Xの3次方程式と4次方程式の解を求めてみます。 まず、Xの3次方程式で…
n次方程式をオイラーの公式を用いて解く(1) Xの4次方程式の解 a,b,c ,dについては、数の風景-81で計算 を試みましたが、まだ解が得られていません。 そこで4次式だけでなく、この形の高次方程式全ての次数について オイラーの公式を援用し…
3次方程式解(数の風景-80)を(R+i)形へ Xの3次方程式の解 a,b,c の3つの組合せを図で表すことを目標に、 数の風景-82から前回まで、多種類の虚数の表示と計算について 整理してきました。 やっとその作業が終わったので、解 a,b,c …
各虚数の整理と表示(7) 虚数記号での計算結果と(R+i)形での計算結果の間に矛盾が発生 しなければ、両者は何の制限もなく相補的に計算可能となります。 これまでの検証結果では矛盾は発生せず、両者は制限なく相補的に 計算可能といえるようです。 そ…
各虚数の整理と表示(6) 今回は(1+j )の累乗の計算を行ってみます。計算は2つの方法で 行います。 方法A 虚数記号で計算を行って展開式を簡素化し、最後に(R+i)形にする 方法B 最初から(R+i) 形で計算する 方法AとBで結果が一致するか…
各虚数の整理と表示(5) 前回に引き続き今度はランダムに掛け算、割り算をして、虚数記号 の計算結果と (R+i)の計算結果とに矛盾がないかチェックしていき ます。 まず掛け算です。 つぎに割り算を見てみます。 ここまで特に問題は見られませんでした…
各虚数の整理と表示(4) 前回多くの虚数を (R+i)の形で表すことができました。しかし変換され た 実数と虚数iの和 が元の各虚数の代わりとして何の問題もなく機能 するかどうかは、いろいろ試してみて確認していく必要があります。 まず、各虚数記号…