閑話休題（６） ここまで、オイラーの素晴らしい贈り物 「オイラーの公式」 を頼りに、 数に関わるいろいろな試みを行ってきました。 つくづく思うのは、真偽を超えて数の世界のｅと物理の世界のｃとの 類似性です。ｅは自然対数の底、ｃは光速です。 ｅに対…

素数個数とｌｏｇの世界 そもそも素数個数とｅの指数との間にはどのような関係があるのでしょうか。 もう少し探ってみます。 ｌｏｇXは直交座標系のXをｅの指数の値に変換した値なので、ｌｏｇXの式と、 私がこだわっている素数個数の式との間にどのような関…

素数の解析にオイラーの公式を利用する（２） ここでは、前回の計算をつぎの要領で行います。 以下の範囲で計算してみます。 整数Ｘ ２≦Ｘ≦１０２ 素数ｎ ２≦ｎ≦Ｘ ここでは分母のｎ値を全ての整数ではなく、X以下の全ての素数としま した。 X以下の全素数が…

素数の解析にオイラーの公式を利用する（１） 前回の関係はつぎのように、ｅ の指数の場に素数個数を閉じ込める ことができることも示しているようです。 ここで、X値を正の整数、ｎ値をX以下の素数としてｅの指数を含めて 計算することにより、素数の判定お…

素数とｅの指数の場（４） ここからは素数および素数個数の扱いをｅの指数の場に移していく作業 に取り組んでいきます。 まず、数の風景－６４～６６で見てきた素数個数比率ξと、素数個数を 求めるプロセスとの整合性を図ります。 このように、分割数ｎを ｎ…

素数とｅの指数の場（３） 前回、素数は「１＜ｎ＜Xの整数ｎで割り切れるｎが０個の整数X」である ことを考えましたが、オイラーの公式に用いたＲ－ｉ座標をイメージして それを模式図に表せばつぎのようになるでしょうか。 例としてX＝１～１１について表し…

素数とｅの指数の場（２） 前回、直交座標とｅの指数の場の関係を表にしましたが、問題ないか 素数が含まれる実数の世界について数値計算により確かめてみます。 特に問題ないようです。 ところで素数は実数のうち正の整数の世界にあるので、虚数や小数の 世…

素数とｅの指数の場（１） しばらく休止して素数について考えていましたが、ここまでの思考実験 の過程を記述してみます。 ここからは、場の設定や計算手法など、いささか荒っぽい飛躍も含まれ ています。 それも一つの試みと受けとめていただければと思いま…

ζ関数の動きを Ｒ－ｉ 座標上で表示 数の風景１３０～１３２で見てきたRとｉの関係を Ｒ－ｉ 座標上で表示して みます。 データ表示は省略しますが、そこで使用したデータと同じです。 図からａ＝０のときが最も振幅が大きく、ａ値が大きくなるにしたがって …

ζ関数実数値変動の要因（２） 前回、ａ＝０．５のとき、ｘが１ずつ増えていく場合と０．５ずつ増え ていく場合とでは異なる実数の中心値に向かってシフトしている様子が 見られました。 私はこの動きは、前に見てきたオイラー定数γのようなものではないか と…

ζ関数実数値変動の要因（１） ζ関数の大きな変動の発生原因は何なのか、ａ値がζ関数の実数値 シフトに大きく関与している理由は何なのか、これらの疑問を解明しな ければζ関数零点とａ値との関係を明らかにすることはできないよう です。そこで、指数の実数…

ζ関数零点探査（４） 前回に加えて今回はａ＝０とａ＝１の場合について △Ｒ-∫Ｒ、△ｉ-∫ｉ のグラフを見ます。 ここまでの５つのグラフから、指数ｓ＝ａ＋ｉｂの実数部ａと虚数部ｂの 変化に伴うζ関数の中心値の動きと振幅の大きさの変動には、つぎの特徴 が…

ζ関数零点探査（３） 前回見てきたのは、指数実数部ａ＝０．５のときのグラフでした。 では、 ａ値が０．５以外の場合はどのようなグラフになるでしょうか。 ここでは、 ａ＝０．３、ａ＝０．７の場合について計算してみます。 以上から、ａ値が大きくなるに…

前回、ａ＝0.5における「ζ関数の△－∫」ｸﾞﾗﾌのデータが抜けていたので 追加します。表中の色表示部は零点付近の値です。

ζ関数零点探査（２） 前々回、前回の計算結果ではいずれも、零点とされているｂ値付近で 関数値の実数部Rが０に接近している様子が見られます。 ここで ｂ＝14.1 付近を拡大した計算結果を見てみます。 計算値は実数、虚数ともに小刻みな振動を繰り返しなが…

ζ関数零点探査（１） オイラーの公式に用いられるｅのｉθ乗の形の加減算については数の風景 －１１６，１１９で見てきました。ここからはこれを使ってζ関数の零点探査 をやってみようと思います。 ζ関数の計算は前回と同じく、１≦ｘ≦５３５ の区間で行います…

ζ関数 ｘ値変更（２） 前回、位相関係の影響が考えられたので、それを考慮してｘ値をこれ 以降すべてｌｏｇｘ≒2πとなる値 ｘ＝535 にして計算していきます。 ｂ値を1から1/2刻みで上げていき、これをlog535に掛けることで、ｂｌoｇｘ の値をπ刻みで上げてい…

ζ関数 ｘ値変更（１） ここでζ関数の零点を見やすくするために、ｘ値を変えてみました。 以下にｘ＝1000とｘ＝500の場合のグラフを表示します。 指数 ｓ＝ａ＋ｉｂ とし、ａ値を ａ＝0.5 として、ｂ値を 2≦ｂ≦50 の範囲で 表示しています。グラフ中に零点と…

ζ関数 のシミュレーション（３） ここからは指数ｓが複素数ａ＋ｉｂの場合について、すなわち ｓ＝ａ＋ｉｂ のときのζ関数計算式およびシミュレーションの式を求めます。 ｘ値は本来Ｘ→∞ですが、ここでもｘ＝100 として計算し、シミュレーション の適否を見…

ζ関数 のシミュレーション（２） 今回は 指数ｓ が 虚数ｂ のみの場合について、ζ関数およびシミュ レーションの式を求めます。 まず、Ｘ の－ｉｂ 乗をつぎのように変形します。 これを用いて ミュレーションの式を求めます。 ｘ値は100、指数の虚数部ｂ値…

ζ関数 のシミュレーション（１） ここからは、数の風景－７４でふれた ζ（ゼータ）関数 の零点について 見ていきたいと思います。 これは「ζ関数の自明でない零点の実数部は全て １／２ である」という 「リーマン予想」に関わるものですが、ここでは、自分…

閑話休題（５） 今回はお休みです。 先日、超高速の量子コンピューターのニュースが流れました。なん でも、米国で作られた１台が日本に入ってきたというニュースだった ように覚えています。 量子コンピューターは量子もつれの現象を利用しているとのこと。…

波でもあり粒でもある？（２） 数の風景－１１４から前回まで、オイラーの公式による表示と計算 方法について、波としてだけでなく粒としてとらえ、計算することが できないか試行錯誤してきました。 つぎは、その結果を整理するために、粒の位相θが任意の値…

オイラーの公式の累乗は同じ値の繰り返しだが（２） 今度は、ｅ のｉ(80π/10)乗について、その(1/3)乗のとき、Ｒ－ｉ座標上 に現れる点の様子を見ていきます。 このように、Ｒ－ｉ座標上の点は３０個となります。前回までの話では 「点の数は見た目ではなく…

オイラーの公式の累乗は同じ値の繰り返しだが（１） オイラーの公式はｅのｉθ乗で表されますが、θ＝２πｘとしたとき、 ｘが１以上の正の整数ならば、全て実数Ｒ＝cos(２πｘ)＝１になり ます。つまり、ｅのｉ２π乗の２乗、３乗、４乗の場合は、それぞれ ｅ の…

オイラーの公式の加減乗除 ・・・ 係数を個数として扱えるか（２） 前回の検討結果、粒の状態での加減算は指数部が同じものどうし でしかできないようです。 異なる位相を持つ粒がそれぞれ任意の数存在する場合の加減算は、 同じ位相の粒の数の加減算を行っ…

オイラーの公式の加減乗除 ・・・ 係数を個数として扱えるか（１） 数の風景－１１５で、オイラーの公式による数表示は、波としても 粒としても扱えるのではないかと考えました。もしそうなら、粒として 計算することはできないでしょうか。 乗除算なら何の…

オイラーの公式の乗除算 乗除算は、係数は普通に乗除算、指数部は乗算が加算に、除算が 減算になります。 つぎの例で計算し、この計算方法で間違いないか確かめてみます。 問題ないようです。

オイラーの公式の加減算 ｅの複素数乗どうしの加減乗除はどうなるでしょうか。 ここでは 加算について考えてみます。 指数ｉθ1係数（＝半径）ａ、指数ｉθ2係数ｂの場合、加算後のｅの 指数をｉθ+、係数をｒ+とするとθ+とｒ+はどうなるか調べてみました。 こ…

波でもあり粒でもある？（１） 前回、正と負の実数、虚数を水平、垂直の直線で表しました。 実はこれだと、実数ｘが直線的に増加していく場合に、それに 対応するｅのｉ（2πｘ）乗の実数値は＋から０を経由して－にいき、 また０を経由して＋に行くという動…