ζ関数零点探査（３） 前回見てきたのは、指数実数部ａ＝０．５のときのグラフでした。 では、 ａ値が０．５以外の場合はどのようなグラフになるでしょうか。 ここでは、 ａ＝０．３、ａ＝０．７の場合について計算してみます。 以上から、ａ値が大きくなるに…

前回、ａ＝0.5における「ζ関数の△－∫」ｸﾞﾗﾌのデータが抜けていたので 追加します。表中の色表示部は零点付近の値です。

ζ関数零点探査（２） 前々回、前回の計算結果ではいずれも、零点とされているｂ値付近で 関数値の実数部Rが０に接近している様子が見られます。 ここで ｂ＝14.1 付近を拡大した計算結果を見てみます。 計算値は実数、虚数ともに小刻みな振動を繰り返しなが…

ζ関数零点探査（１） オイラーの公式に用いられるｅのｉθ乗の形の加減算については数の風景 －１１６，１１９で見てきました。ここからはこれを使ってζ関数の零点探査 をやってみようと思います。 ζ関数の計算は前回と同じく、１≦ｘ≦５３５ の区間で行います…

ζ関数 ｘ値変更（２） 前回、位相関係の影響が考えられたので、それを考慮してｘ値をこれ 以降すべてｌｏｇｘ≒2πとなる値 ｘ＝535 にして計算していきます。 ｂ値を1から1/2刻みで上げていき、これをlog535に掛けることで、ｂｌoｇｘ の値をπ刻みで上げてい…

ζ関数 ｘ値変更（１） ここでζ関数の零点を見やすくするために、ｘ値を変えてみました。 以下にｘ＝1000とｘ＝500の場合のグラフを表示します。 指数 ｓ＝ａ＋ｉｂ とし、ａ値を ａ＝0.5 として、ｂ値を 2≦ｂ≦50 の範囲で 表示しています。グラフ中に零点と…

ζ関数 のシミュレーション（３） ここからは指数ｓが複素数ａ＋ｉｂの場合について、すなわち ｓ＝ａ＋ｉｂ のときのζ関数計算式およびシミュレーションの式を求めます。 ｘ値は本来Ｘ→∞ですが、ここでもｘ＝100 として計算し、シミュレーション の適否を見…

ζ関数 のシミュレーション（２） 今回は 指数ｓ が 虚数ｂ のみの場合について、ζ関数およびシミュ レーションの式を求めます。 まず、Ｘ の－ｉｂ 乗をつぎのように変形します。 これを用いて ミュレーションの式を求めます。 ｘ値は100、指数の虚数部ｂ値…

ζ関数 のシミュレーション（１） ここからは、数の風景－７４でふれた ζ（ゼータ）関数 の零点について 見ていきたいと思います。 これは「ζ関数の自明でない零点の実数部は全て １／２ である」という 「リーマン予想」に関わるものですが、ここでは、自分…

閑話休題（５） 今回はお休みです。 先日、超高速の量子コンピューターのニュースが流れました。なん でも、米国で作られた１台が日本に入ってきたというニュースだった ように覚えています。 量子コンピューターは量子もつれの現象を利用しているとのこと。…

オイラーの公式の累乗は同じ値の繰り返しだが（２） 今度は、ｅ のｉ(80π/10)乗について、その(1/3)乗のとき、Ｒ－ｉ座標上 に現れる点の様子を見ていきます。 このように、Ｒ－ｉ座標上の点は３０個となります。前回までの話では 「点の数は見た目ではなく…

オイラーの公式の累乗は同じ値の繰り返しだが（１） オイラーの公式はｅのｉθ乗で表されますが、θ＝２πｘとしたとき、 ｘが１以上の正の整数ならば、全て実数Ｒ＝cos(２πｘ)＝１になり ます。つまり、ｅのｉ２π乗の２乗、３乗、４乗の場合は、それぞれ ｅ の…

オイラーの公式の加減乗除 ・・・ 係数を個数として扱えるか（２） 前回の検討結果、粒の状態での加減算は指数部が同じものどうし でしかできないようです。 異なる位相を持つ粒がそれぞれ任意の数存在する場合の加減算は、 同じ位相の粒の数の加減算を行っ…

オイラーの公式の加減乗除 ・・・ 係数を個数として扱えるか（１） 数の風景－１１５で、オイラーの公式による数表示は、波としても 粒としても扱えるのではないかと考えました。もしそうなら、粒として 計算することはできないでしょうか。 乗除算なら何の…

オイラーの公式の乗除算 乗除算は、係数は普通に乗除算、指数部は乗算が加算に、除算が 減算になります。 つぎの例で計算し、この計算方法で間違いないか確かめてみます。 問題ないようです。

オイラーの公式の加減算 ｅの複素数乗どうしの加減乗除はどうなるでしょうか。 ここでは 加算について考えてみます。 指数ｉθ1係数（＝半径）ａ、指数ｉθ2係数ｂの場合、加算後のｅの 指数をｉθ+、係数をｒ+とするとθ+とｒ+はどうなるか調べてみました。 こ…

いろいろな数をｅ の指数で表示 ここまでオイラーの公式の数々の素晴らしい働きを見てきました。 その式は、ｅ の虚数 ｉ 乗の形をしています。 私たちが普段使っているいろいろな数は、オイラーの公式を用い ればどのように表されるでしょうか。 自然数はつ…

ｅ のｊθ乗について 今回はｅの指数が虚数 ｊ の場合について計算を行います。 ｊ の場合は、数の風景－８４で見てきた（Ｒ＋ｉ）形への変換を行い、 その累乗がどのような動きをするかを見ます。 ｊ は ｅ の ｉ（π/4）乗だから、ここでは ｊ の累乗を10乗…

ｅ のｉθ乗について オイラーの公式では三角関数に変換して計算しますが、ここでは ｅの指数が虚数（ｉθ） の場合について、数の風景－２７で見てきた ｅの式を使って四則演算で計算を行い、オイラーの公式による計算 結果と一致するかどうか検証してみます…

位相を合わせて小分け関数を合算してみる（２） 今回は前回と同じサンプル関数、同じ手順で、各次-１ と 各次＋ｉ の２つの小分け関数について計算してみます。 前回計算手順③④の結果をつぎのようにまとめました。 上の２つの計算結果も前回と同じになりまし…

位相を合わせて小分け関数を合算してみる（１） 数の風景－１０４以降６回にわたって、小分け関数の計算をして きました。 ここでは小分けした各関数について同じＸ値で計算した値を全て 合算すると、元の関数を同じＸ値で計算した値に等しくなるのか どうか…

高次方程式の小分け関数解（別解－２） ここで前回の手法を使って、前々回の関数サンプルについて解を 求めてみます。 これを各次数の関数に小分けして、各関数の解を求めます。 まず、各次±１ の小分けから計算してみます。 下線部各項の値が０となるＸ値を…

高次方程式の小分け関数解（別解－１） Ｘのｎ次方程式を小分けするもっと簡単な方法をさぐってみました。 各次数別に小分けしてしまう方法です。その準備として、Ｘのｎ次 方程式をつぎのように変形します。 上のｎ次方程式を各次数別に小分けにします。こ…

高次方程式の小分け関数解（４） 前回の小分け関数を行列の形で表してみます。 同様に、数の風景－９７で見てきた関数のサンプルを行列の形で 表します。 ここで、これまでの手法を使って、このサンプルの解を求めます。 すべての小分け関数について解が得ら…

高次方程式の小分け関数解（３） 前回、ｎ次方程式を小分けしました。それらの関数はすべてＸの 係数が１になっています。 今回は下線部の各関数の解を求めます。 この形の関数の解は 数の風景－９０で扱っています。そこで求めた解を各関数に割り 当てます…

高次方程式の小分け関数解（２） ここではＸのｎ次方程式を、数の風景－９０で見た形のｎ次以下 の各方程式に小分けする方法について考えます。 ｎ次の項は１なので、定数項を含め、すべての項を１にします。 つぎに（ｎ－１）次の項の係数はａ1なので、（ｎ…

高次方程式の小分け関数解（１） 一般的なＸの高次方程式をｎ個の解の積の形にもっていければ 最高なのですが、ここまで見てきたように、実数、虚数ともに０ になる完全な零点はほぼ見つかりません。 そこで、今度は和の形での解法を目指してみましょう。 こ…

閑話休題（４） 実数解と虚数解 高次方程式の解についてここまで見てきた限りでは、特別な形の 式を除いてＲ，ｉ共に０となる完全な零点はほぼ見つかりません。 このことは物理の世界のいろいろな現象を連想させます。 つぎのようなコイルに交流電圧Ｖを印加…

一般の高次式の解法を特別な形の高次式に適用（２） 今回は、数の風景－９２で対象にした高次式について計算して みます。 数の風景－９２で扱った式のうち、つぎの２つについて一般の 高次式に適用した方法で再度計算してみます。 ここでは理解を深めるため…

一般の高次式の解法を特別な形の高次式に適用（１） 一般の高次方程式に用いた解法を、数の風景－９０で対象にした 係数および定数項がすべて１の高次方程式に用いたらどうなるか ここで確かめてみます。 数の風景－９７でおこなったのと同じ方法で、それぞ…