つぎの数列は何でしょうか。これは大文字だけを見ればフィボナッチ数列です。また、小文字だけを見ればフィボナッチ数列です。大文字のフィボナッチ数列に小文字のフィボナッチ数列が絡み付いている数列です。数列Ｔ１ １ ２ 1 ３ 2 ５ 3 ８ 5 １３ 8 ２１ 1…

今回はマイナス側に身を置いてプラス側を覗いてみましょう。マイナスの世界の住人にとってはマイナスの側が現実で、プラスの側が非現実の世界です。この場合はｎ番目のフィボナッチ数をＦnとするとＦn＝Ｆn+1＋Ｆn+2なので、プラス側へ書き加えていく場合は…

前回マイナス側を見てみましたが、それはかたよりのない立場からのマイナス側の景色でしょうか。私はかたよりのない立場からではなく、プラスの側に身を置いてマイナスの側を覗いた眺めになっていると考えます。ではプラスにもマイナスにもくみしない真に公…

ここでフィボナッチ数のマイナス側を覗いてみます。 ｎ番目のフィボナッチ数をＦnとするとＦn＝Ｆn-1＋Ｆn-2なのでマイナス側へ書き加えていく場合はＦn-2＝Ｆn－Ｆn-1を計算していけばいいわけです。つまり加算した結果を数列の右側に書き足していくのがプ…

ここで隣り合う各項の比が自然対数の底ｅに近い数列の構造式はどうなるか探ってみます。ｅの値は2.71828･･･ということがわかっていますから、それに近い値になりそうな構造式を適当に設定して数列を作ってみます。そして試行錯誤を繰り返してだんだん近づけ…

前回までずっとＦ［ｓ，ｃ］のタイプの数列を見てきましたが、このタイプだと隣り合う項の比は最大でも２です。２より大きい比の値を得るにはどうしても繰り返し加算が必要になります。たとえばつぎのような数列です。数列Ｑ１ １ ３ ７ １７ ４１ ９９ ２３…

＜証明(後半)＞ Ｆ［ｓ－１，ｓ＋１］≡ Ｆ（Ｘ1＋Ｘs+1）について この証明は必要条件と十分条件の双方から行います。まず必要条件として、両辺の数列の構造式から算出された隣り合う項の比が同じであることの証明を行います。 まず右辺から、 Ｆ（Ｘ1＋Ｘs+…

今年は虫の発生が少なく、花が綺麗に咲きました。 ところで、先の予想「 Ｆ［ｓ，∞］≡ Ｆ［ｓ－１，ｓ＋１］≡ Ｆ（Ｘ1＋Ｘs+1） 」について証明を試みましたので掲載します。証明は Ｆ［ｓ，∞］≡ Ｆ（Ｘ1＋Ｘs+1） を前半にＦ［ｓ－１，ｓ＋１］≡ Ｆ（Ｘ1＋…

前回のｓ＝０を含めて 数列Ｆ［ｓ，ｃ］の主要なものについて各項の比を表にまとめてみます。 ｃ＝１の場合はｓの値が何であっても数列は １ １ １ １ １ ・・・ となりますので比はすべて１です。 ここでＦ［１，２］とＦ［２，３］とＦ［３，５］とＦ［４…

フィボナッチ数は隣り合う数の比が1.61803･･･という値になりますが、この値は黄金比と呼ばれていますね。実はこれまで扱ってきたすべての数列は、隣り合う数の比がそれぞれの決まった値に収斂します。数列 Ｆ［ｓ，ｃ］のいくつかについてその値を計算してみ…

前に数列Ｆ［ｓ，∞］の簡便計算法として紹介しましたが、下の模式図のように新しく書き加える数▲は、１つ前の■（これをＸ1とします）とｓ個とばしたその前の■（これをＸs+1とします）の和と同じです。この理由は、式▲＝Ｘ1＋Ｘs+1がこの数列Ｆ［ｓ，∞］を作…

ここで今までの数列を振り返ってみます。 よく見ると数列Ｏと同じ並びの数列がすでに現れていました。それは数列Ｄです。 数列Ｏの方が１の並びの数が１つ多いもののその後はまったく同じです。また、数列Ｐは数列Ｎと数の並びが同じです。そして前に見たよ…

ここでカウントｃが∞の数列を二つ見てみます。 一つはＦ［２，∞］です。 作り方は最後から２つの数をスキップしてその前のすべての数を合計した 結果を書き足していきます。 数列Ｏ Ｆ［２，∞］ １ １ １ １ ２ ３ ４ ６ ９ １３ １９ ２８ ４１ ６０ ８８ …

前回、これまで見てきた数列を整理してみました。 こんどはもっとスキップ数ｓを増やしてみます。ここではｓ＝２の数列を 見てみます。 計算のルールは、たとえばｓ＝２、ｃ＝３の数列Ｆ［２，３］の場合は下図の ように 最後の二つの数（□）をとばしてその…

ここでちょっとこれまでの数列の整理をしておきます。数列をつぎのように模式的に表します。 １ １ ・・・ ・・・ ■ ・・・ ■ □ ・・・ □ ▲ 最後に書き加える数▲は、□の数をとばしてその前の■の数字を足し算した結果です。 （ただし、□の数が多いため足し算…

今度は一つとばしてそれより前のすべての数を合計するという 方法で数列を作ってみます。記号で表せばスキップ数ｓ＝１、 カウント数ｃ＝∞の数列ということになります。 １ １ １ ２ ３ ５ ８ １３ ２１ ３４ ５５ ８９ ・・・ これは最初の数１が１つ多いも…

前回、一つとばしてその前の２つの数字を足した数字を書き足していくと いう方法で作った数列が、ウサギのつがいの問題で生涯繁殖回数が２回 のときの数列に一致したことが判りました。 そこで今度は一つとばしてその前の３つの数字を足した数字を書き足して…

フィボナッチ数の周辺をざっと見渡しましたので、今度はもっと いろいろな数列を作ってみることに挑戦してみます。 といっても対象はあくまでも自然数で、「１ １」から始まり、まずは 加算のみを使うことを前提とします。 フィボナッチ数の計算ルールは直前…

数列の最後から３個の数字を合計して最後に書き足していくのがトリボナッチ数で、 最後から４個の数字を合計して書き足していくのがテトラナッチ数ならば、同じ要領 でいくらでも数列が作れますね。 ここで５個を合計して数列Iを、６個合計して数列Jをつくっ…

この理由はフィボナッチ数の作り方にあるようです。前にも書いたように フィボナッチ数はどの数をとってみてもそのすぐ前の数ともうひとつ前の 数との和になっています。 １行下に右に１つずらしてフィボナッチ数を書き、その数を上の数から引け ば答え（差…

今回はフィボナッチ数にもどって、その美しさを改めて実感しましょう。 まず、フィボナッチ数を横に一列に書きます。次に１行下に右に１つずらして フィボナッチ数を書きます。 そしてそのあとは、上の行から下の行の数字を引いて、その下に引き算の 答えの…

ちょっとしつこいかもしれないけれど、生涯繁殖回数４回と５回 の場合についても数列を調べたので結果だけを書いておきます。 数列Ｅ： つがいの生涯繁殖回数４回の場合 １ １ ２ ３ ５ ７ １１ １７ ２６ ・・・ 数列Ｆ： つがいの生涯繁殖回数５回の場合 …

今度はつがいの生涯繁殖回数を３回とします。 生涯繁殖回数が２回のときより増え方が勢いを増してきたがフィボナッチ数には にはやはり及びません。それもそのはず、フィボナッチ数の場合は一度生まれた つがいは永久に死ぬことはなく、永遠に子（つがい）を…

今度はつがいの生涯繁殖回数を２回とします。 フィボナッチ数ほどの勢いはないけれど、少しずつ増えていってる のがわかります。 後は次回へ

フィボナッチ数列は、どの数も直前の二つの数の和になっているという関係 になっています。 以上はフィボナッチ数の常識なので、これ以上わかりきったことを 書くのはやめて、これから少しずつ非常識（？）なことを書きます。 ウサギのつがいの繁殖問題をも…

自然数の数列のなかにフィボナッチ数というものがあります。 これに関することを少しずつ記入していきたいと思っています。 私は専門家でも何でもないので難しいことは書けません。 すでに知っている人には言わずもがなですが、ウサギのつがいの繁殖問題とい…