徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-89

3次方程式解(数の風景-80)を(R+i)形へ Xの3次方程式の解 a,b,c の3つの組合せを図で表すことを目標に、 数の風景-82から前回まで、多種類の虚数の表示と計算について 整理してきました。 やっとその作業が終わったので、解 a,b,c …

 訂正:します

オイラー定数刻み幅を小さくする計算式 数の風景-57で、オイラー定数に関する計算式において、刻み幅 を小さくする計算式に、刻み幅を掛ける表示が抜けていました。 お詫びして訂正させていただきます。 なお計算のスタートはn=1からなので、刻み幅を…

数の風景-88

各虚数の整理と表示(7) 虚数記号での計算結果と(R+i)形での計算結果の間に矛盾が発生 しなければ、両者は何の制限もなく相補的に計算可能となります。 これまでの検証結果では矛盾は発生せず、両者は制限なく相補的に 計算可能といえるようです。 そ…

数の風景-87

各虚数の整理と表示(6) 今回は(1+j )の累乗の計算を行ってみます。計算は2つの方法で 行います。 方法A 虚数記号で計算を行って展開式を簡素化し、最後に(R+i)形にする 方法B 最初から(R+i) 形で計算する 方法AとBで結果が一致するか…

数の風景-86

各虚数の整理と表示(5) 前回に引き続き今度はランダムに掛け算、割り算をして、虚数記号 の計算結果と (R+i)の計算結果とに矛盾がないかチェックしていき ます。 まず掛け算です。 つぎに割り算を見てみます。 ここまで特に問題は見られませんでした…

数の風景-85

各虚数の整理と表示(4) 前回多くの虚数を (R+i)の形で表すことができました。しかし変換され た 実数と虚数iの和 が元の各虚数の代わりとして何の問題もなく機能 するかどうかは、いろいろ試してみて確認していく必要があります。 まず、各虚数記号…

数の風景-84

各虚数の整理と表示(3) 前回までの検討の結果、すべての虚数を(R+i)の形で表すことが できるようです。 ここでの数aの表し方は αの平方根各回数の値に、それに応じた 各種の数を掛けた形になります。そして各種の数はすべて(R+i) の形で表すこ…

数の風景-83

各虚数の整理と表示(2) 前回、各虚数 i j k をR-i座標表示しました。 ここで再度 k 以上の すべての虚数についてつぎにまとめます。 以上の虚数を 数の風景-76 で見てきた、数aの平方根をとり続けて いく場合の虚数分類に対応してまとめてみま…

数の風景-82

各虚数の整理と表示(1) 前々回、Xの3次方程式の解 a,b,c の値を求めましたが、その3つ の組合せを図で表すことはできないか検討してみます。そのためには 多くの虚数を整理して、表示だけでなく計算もできるだけ簡素化する 必要があります。 そこ…

数の風景-81

高次方程式を解く(2) 今度はつぎのようなXの4次方程式について見ていきます。 これが解 a,b,c,d を持つとするとき、前回と同様の方法で展開式 を求め、その展開式は上の4次方程式に一致しなければなりません。 それには、各次数のXの係数値お…

数の風景-80

高次方程式を解く(1) このような虚数たちを気味悪がっているだけでは面白くありません。 そこでこれをうまく利用して高次方程式を解くことができないだろうかと 考え、まず3次方程式に取り組むことにしました。 つぎのようなXの3次方程式の解はどうな…

数の風景-79

数の風景-79 各虚数間の計算方法 ここまで見てきた中で、1の累乗根連続4回で8種類の数が現れ、その うち7種類が虚数です。それぞれに+と-があるので、合計16種類に 別れ、そのうち14種類が虚数です。 ここで、これら16種類の数の間での計算方…

数の風景-78

多種類の虚数(3) 前々回、前回と 平方根や共役複素数をとり続けていくことにより、多く の虚数が現れてくる様子を見てきましたが、ここでは i 以下のいろいろ な虚数について、それを累乗していくことでどのように変化していくかを 見てみます。 それぞ…

数の風景-77

多種類の虚数(2) 前回、平方根をとり続けていくことにより、多くの虚数が現れてくる様子 を見てきましたが、共役複素数をとることによっても多くの虚数記号が 発生します。 共役複素数の関係式を用いて、つぎのように上位の虚数を下位の虚数 の積に分解す…

数の風景-76

多種類の虚数(1) 数の風景-10で、実数の平方根を複数回とるたびに別種の虚数記号 が増えていき収拾がつかなくなるのではと考えました。その後いろいろ 考えあぐねた末に、今ではそのような虚数の存在は無視できないのでは ないかと考えるに至りました…

数の風景-75

閑話休題(3) 今回はお休みです。 宇宙についてのイメージトレーニングとして、いろいろな情報を自分なり に整理して「宇宙イメージ」を作ってみました。 下の図は、宇宙の形や大きさを表しているものではなく、私たちがいる 現在の宇宙と私たちが観測でき…

数の風景-74

ζ(ゼータ)関数について この関数は1以上の全ての自然数を決まった値sで累乗し、それぞれの 逆数を足し合わせるものです。 一般にsには複素数以下、全ての数が 適用されているようです。 s=1 の場合は、数の風景-55で見てきたように log∞ にオイ…

数の風景-73

Γ関数について(3) 最後に指数関数を大顎で鋏んでみます。 前々回求めた「f(x)を鋏んだ場合の解」を使って再度計算してみます。 指数関数はさすがに頑丈で、大顎でも噛み砕くことはできませんでした。

数の風景-72

Γ関数について(2) 前回、Γ関数の「大顎」の強力な分解力を見てきました。ここで試しに いくつかの関数を鋏んで計算してみます。 まず2次関数から つぎに3次関数を鋏んでみます。 この大顎の威力の源は何でしょうか。それはその構造を見れば分かり ます…

数の風景-71

Γ関数について(1) ここでこれまでに出てきていないいくつかの関数についてみていきます。 Γ(ガンマ)関数はつぎのように表されています。 この関数は独特な性質を持っていて、Γ(z+1)=zΓ(z)という関係が あります。そこで複素数zを自然数nに…

数の風景-70

数Xの構造解析 その(2) 数の風景-48で、logの構造について見てきましたが、このlogの式 からも数Xの計算式を見出すことができます。 前回同様、いくつかのX値について、nの値が100、1000、10000の場合 についてこの式を計算し、この式から得…

数の風景-69

数Xの構造解析 その(1) 数の風景-27 で見てきた自然対数の底 e の式から数Xの計算式 が導かれます。 いくつかのX値について、nの値が100、1000、10000の場合について この式を計算し、この式から得られた数値とX値との差を調べてみま した。 こ…

数の風景-68

結局、なぞだらけの素数 いささか素数に食傷ぎみになってきました。 最後にX値を実数領域 まで拡張して考えてみます。 Xがeのn乗のとき、X以下の素数個数 比率はつぎのようにすっきりした分数形 1/(n-1) になります。 以上の関係からも、素数の…

数の風景-67

m番目の素数の値 ここでm番目の素数の値はどのように計算するのか、ちょっと考え てみます。 素数個数の関数P(n)=mとおいて、つぎのような手順でm番目の 素数を計算し、いくつかのm値について表示してみました。 上の表で「予測値」は④の計算結果…

数の風景-66

素数の正体は (3) ここまで素数について考えてきたことをまとめてみます。 まず、正の整数Xに含まれる素数個数の推定式を X/( log X - 1) として、この式から素数個数のイメージを描いてみます。 ここで、X=10 から X=10000 までのい…

数の風景-65

素数の正体は (2) ここまで見てきた中で (logX-1) の形の式が意外なところに顔を出して います。 それをつぎに整理してみます。 <素数個数関数> <直交座標系> <微積分連鎖> 1次元 X/(logX-1) X X(logX-1) 基底次元 1…

数の風景-64

素数の正体は (1) ここまで素数の累積個数についてあれこれ見てきたけれど、肝心の素数の 正体については迫ることができていません。もっとよく理解することはできない でしょうか。 前々回、素数個数推定値を P(n)として、P(n) = n/( log…

数の風景-63

素数の近似式(4) 前回、自然数nまでの素数個数の推定値をP(n)として P(n) = n/( log n - 1) について見てきました。しかし、これは究極の推定式ではないような気も します。そこで、誤差を小さくするべく試行錯誤の末、つぎの式にたど…

数の風景-62

素数の近似式(3) 素数の近似式として取り上げた nの(2/e)乗 は自然数nが1000を 超える領域では誤差が急激に拡大してしまうという、致命的な欠陥が みつかりました。そこでもっと大きいnの領域でも精度の良い近似式は ないか検討してみるべく…

数の風景-61

素数の近似式(2) 前回、素数の近似式として、nの(2/e)乗なる式を見てみました。実は この式は自然数nが1000を超える領域では誤差が急激に拡大してしま うことが判明しました。 n<1000の領域ではかなり良い近似になっています。しかしそ…