徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-21

(X+1)の累乗 Xの一次式(X+1)を複数回掛けたらどういう式になるのでしょうか。数の少ない 方から少しずつ計算していきます。 各項の係数値はちょうど真ん中辺りが最も大きいことがわかります。(X+1)の n乗のときの係数値はつぎのように知ら…

数の風景-20

組み合わせ数 ナンバープレート ここでナンバープレートの組み合わせ数について考えてみます。 0から9までの10個の数字を使って4桁の番号札を作るとしたら 0000 から 9999 まで 10000個の札ができます。 この番号の組み合わせは各桁10個…

数の風景-19

関数 その(4) 三角関数 図のような直角三角形があり、1つの角度がΘのとき、つぎのように三角 関数として表されます。 sinΘ=隣辺2/斜辺 cosΘ=隣辺1/斜辺 ここで X=cosΘ Y=sinΘ として、Xを横軸に、Yを縦軸にして角度Θ の変化に伴…

数の風景-18

関数 その(3) 指数関数 指数関数は通常、自然対数の底eの指数を変数xとして、つぎのように 表されています。 指数関数eのx乗は、微分や積分をしてもその関数の形が全く変わらず、eの x乗のままであるという特別なものですね。 その特別な数 e の値…

数の風景-17

関数 その(2) 文字式の計算 計算は原則()の中を先に計算しますが、つぎのように展開して計算する こともできますね。 (a+b)+(c+d)=a+b+c+d (a-b)-(c-d)=a-b-c+d (a+b)×(c+d)=a×(c+d)+b×(c+…

数の風景-16 

関数 その(1) 前回、果物の数を管理するのにリンゴをA、ミカンをO、ナシをPとして、3つの ダンボールで管理する例を考えました。 ここでA,O,Pを単に数だけでなく、仕入費合計Tc、売上合計Tsとして管理する ことを考えます。 仕入費については…

数の風景-15

文字数、文字式 文字は数字ではありませんから文字そのもので計算できるわけではなくて、 これはたとえば果物を入れるダンボール箱みたいなものですね。そのダン ボール箱には文字が書いてあり、リンゴと書いてあればリンゴしか入れること ができません。リ…

数の風景-14

黄金比 その(3) 黄金比は自然界にもいろいろなところに隠されているとか。そこで自分も まわりの自然を探してみていくつかそれらしいものを見つけました。その 1例として海辺に生えている植物(下の写真)の成長のパターンを数値化 して調査してみました…

数の風景-13

黄金比 その(2) 多重根号の式からつぎのような方程式が導かれます。 また黄金比とその対の値の関係はつぎのように美しい関係が見られます。 前回の答え 答えの1例です。 黄金比=1+1/黄金比 これは連分数を方程式に置き換えることで導かれます。

数の風景-12

黄金比 その(1) 1.61803・・・ このブログでもずっと前にフィボナッチ数の隣り合う数の比がこの黄金比 になることに触れました。またつぎのような連分数や多重根号からも黄金比 が得られることが関連の本で紹介されています。 これを見ているとこ…

数の風景-11

複素数 実数と虚数の和の形は複素数と呼ばれていますね。複素数の計算法 実数と虚数は直接乗除算できますが加減算は実数は実数どうし、虚数は 虚数どうしで行います。 2つの複素数 a+i b と c+i d の加減乗除をやってみます。 (a+i b)+(c…

数の風景-10

虚数 ここまでの数はすべて実数のグループに入りますが、ここでさらに虚数という ものが出現します。これは2乗したら-になる数です。その数の素ともいうべき ものは通常 i で表されます。 この i は i × i = -1 という性質を持っているとされており…

数の風景-9

無理数 これまでの数全体を有理数といわれていますが、ここで無理数というものも 出現します。これはたとえば指数の値が分数で表されるような数字に混じって います。 例として1から10までの1/2乗の値について見てみましょう。これは平方根 と呼ばれて…

数の風景-8

-(マイナス)の数 つぎに-(マイナス)記号について考えてみます。 整数の前に-をつけると負の整数になります。これは目ではなかなか見え ませんがどこかを基準値0にしてそれからの差をみるときに現れます。 長さや重さなど測定できるものはなんでも、…

数の風景-7

素数 素数は1,2,3,4,・・・と続く自然数の中で1とその数自身でしか割り切れ ない数です。 20までの数でそれに該当する数は1を除けば2,3,5,7,11,13,17, 19の8個あります。数が増えるにつれて現れる素数の数は少しずつ少なく…

数の風景-6

乗数 (または指数) その(2) 乗数(指数)の世界でもうひとつ特徴的なことは、指数の値が-であっても 実数値は0より大きいことです。指数値とそれを計算した実数値との関係は つぎのようにまとめられます。 Aが1より大きいという条件でAの指数xが…

数の風景-5

乗数 (または指数) その(1) たとえば 2×2×2 は2を3回掛け合わせています。これは2の3乗で8 ですね。 2の5乗は32ですが、これに2の3乗(=8)を掛ければ256ですね。また 2の5乗を2の3乗で割れば4になります。 これは指数の加減算…

数の風景-4

小数(循環する小数) 小数は1より小さい数を表す数字です。前回の分数でも1より小さい 数を表すことができます。そこで分数と小数を並べて見てみます。 1/1 1 1/2 0.5 1/3 0.333333333333333333・・・ 1/4 0.25 …

数の風景-3

整数,分数 整数 自然数は正(プラス)の整数とも言われるように、整数には負(マイナス)の 数も含まれます。 ・・・-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,・・・ 分数 リンゴを食べるときに2つに割ったり、さらにそれを2つに割っ…

数の風景-2

自然数の計算 自然数の計算は加減乗除、記号で表せば+-×÷ですね。これはいちいち説明するまでもありませんが、ここでは魚を例に考えてみます。 二人で海釣りに行きました。クロダイが3匹、メジナが5匹、アジが30匹釣れましたが、小さい魚は海に返した…

数の風景-1

これから数に関係あるいろいろなことを超スローペースで気の向くままに見ていくことにします。知っているはずの数の世界もじっと見ていると尽きない面白さを感じます。 自然数 庭先に植えた木に実った果物の数とか、釣に行って釣った魚の数とか、このブログ…

マジ経97  結局自分にできることは

何もやらない何もできないやつが大言壮語を並べてしまった。結局のところ自分にできることは国政や地方自治の場で自分の思いに近いことを実現に向けて取り組んでいく政治家を見定めて、選挙の機会に必ず1票を投ずることである。ただ世間の一般庶民もそれな…

マジ経96  三たび経済活動とは

経済活動には動植物の生存活動も含まれる。その活動は自然界のエネルギー代謝に乗って、養分または食料の取り込みと取り込んだ養分による成長と繁殖活動を行っている。人間社会の経済活動は非常に複雑だが突き詰めれば社会を構成する各個人が快適に生きてい…

マジ経95  経済活動の基盤-2

将来にわたって豊かな社会を維持していくには、自然が自ら行っているエネルギー循環と汚染の浄化作用を人の経済活動によって阻害しないことだ。活発に経済活動を行うのはよいが、それによって自然への負荷を大きくしていくのは自殺行為だ。 核廃棄物、廃棄薬…

マジ経94  経済活動の基盤-1

人は他の多くの動植物と共に、自然によって与えられる土地や水や空気や日光に育まれて生きている。人が生きていくには衣食住が必要だ。その資源は自然によって与えられている。当たり前のことだが、人はその資源から生活に必要な有価値を生み出している。つ…

マジ経93  人口減少社会での経済維持

これまでの考察から経済が発展するには経済社会の総生産高MTすなわちGDPが大きくならなければいけない、MTを大きくしていくにはエネルギー変換効率βを大きくしていかなければいけない、との結論に到った。ではβを大きくしていくにはどうすればいいだろ…

マジ経92  格差是正の必要性

豊かな社会になるほど投資効果は小さくなってくるため、投資増によって雇用増を実現するのは難しくなってくるとケインズは指摘している。著書「雇用・利子および貨幣の一般理論」の中につぎのような記述がある。「完全雇用の状態に近づくにつれて限界消費性…

マジ経91  経済予測

このモデルでは経済の実態把握をすると同時に、次の単位期間の経済動向を予測することもできる。α,β,ηの各パラメータは時と共に変化していくので、このモデルを適用する場合は1年単位とか数年単位に区切って実績値を基に値を算出する。そのパラメータを用…

マジ経90  経済発展の必要条件

経済発展の条件 MT/MT0=(β-α)/η>1 を変形すると β>(α+η)となるから、経済が発展するには経済社会の総生産高を生み出すエネルギー変換効率βが、取込エネルギー係数αと組織維持エネルギー係数ηの合計値より大きくないといけない、ということにな…

マジ経89  経済を動かす因子-3

各係数α,β,ηの持つ意味から必然的に、αとηは小さいほど、βは大きいほどその経済社会の活力は大きいといえる。途中の計算は省略するが①~④式から経済社会の規模Θは Θ= Mθ/η +Aexp(-ηt)となる。十分長い時間経過後には Θ= Mθ/η ・・・ ⑤となる。A…