徒然散歩

経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。

数の風景-43

オイラーの公式を用いた微積分の連鎖の検討(1) オイラーの公式を用いることにより、累乗根の計算で発生する虚数の問題は 解決しましたが、微積分の連鎖が途切れる問題はどうでしょうか。 ここではオイラーの公式を用いた複素数を2つの変数u,vで表すこ…

数の風景-42

オイラーの公式を用いた累乗、累乗根表示 ここで複素数 A+iB についてオイラーの公式を用いて累乗、累乗根を計算 してみます。 このように、オイラーの公式を応用することにより、無制限の種類の虚数の問題 は回避されました。計算結果を図に表せばつぎ…

数の風景-41

オイラーの公式を用いた複素数表示 オイラーの公式には前にも触れましたが、ここではその公式を応用した複素数 表示について記述します。 実数部をA、虚数部をBとして、A,Bをそれぞれつぎのように表します。 このように、オイラーの公式を用いてeの指…

数の風景-40

xをeのt乗で表す 数の風景-10で、実数の複数回平方根をとるたびに別種の虚数記号が増え ていき収拾がつかなくなるのではと考えました。これについてはあとでじっくり 考えるとして、とりあえず多くの種類の虚数を封印する方法がないかどうか考え てみ…

数の風景-39

閑話休題(1) 今回は一休みです。 ここで実数と虚数、+と-について私のイメージを描写してみます。 ここには私の独断と偏見が充満していることをお断りしておきます。 それは真っ直ぐな1本道をてくてくと歩いている自分がいて、前には これから近づいて…

数の風景-38

(cosθ+i sinθ)の2乗= cos2θ+i sin2θ の確認(2) 今回は(cosθ+i sinθ)の2乗の虚数部がsin2θになることを 前回表示した図に基づいて確かめます。 このようにして(cosθ+i sinθ)の2乗の虚数部がsin2θにな…

数の風景-37

(cosθ+i sinθ)の2乗= cos2θ+i sin2θ の確認(1) 前回に続いて(cosθ+i sinθ)の2乗が cos2θ+i sin2θとなる ことを確認していきます。確認作業はつぎの図を基に進めていきます。 ここではまず実数部について見て…

数の風景-36

オイラーの公式 e と Θ を見てきたので、この二つが出てくる式を見てみます。やはりここは 有名な「オイラーの公式」の出番でしょう。 ド・モアブルの定理とはつぎのようなものですね。 オイラーの公式導出の詳しい過程は「オイラー入門」(W.ダンハム(…

数の風景-35

微小三角形を素にして円周と円の面積を求める 前回、「πの素」の模式図を書いてみましたが、これから直ちに円周と円の 面積が求められます。ここでは半径を r として計算します。 このように見てくると、実数の世界のすべては直線上に詰まっているような 気…

数の風景-34

分割数を∞に近づけていくと πの素 はどうなる(2) ここでは「∞に近づけたn値」のことを「n→∞」と表現します。 数の風景-32 で分割数が増えるにつれて πの素(Π) の値がどんどん小さく なっていくのを見てきました。そして分割数n→∞の極限状態では0…

数の風景-33

分割数を∞に近づけていくと πの素 はどうなる(1) ここからはnを分割回数ではなくて図のようにπの分割数nとして考えていきます。 分割された扇形に対応する三角形は向かい合う2つの直角三角形に分割され ますが、その直角三角形の原点部の角度は分割数…

数の風景-32

「πの素」 前回、πの2分割スタートとπの3分割スタートを比較してみましたが、どちらも 分割10回で小数点以下5桁までの精度が得られました。ちなみに2分割10回は 2の10乗で1024分割になります。最初だけ3分割の場合は3×(2の9乗) で15…

数の風景-31

πの計算(2) 数の風景-28 πの計算(1) の続編として今度はπの3分割からスタートして 同様の方法でπ値を計算してみました。途中は省略しますが、n回分割後の計算 式はつぎのようになりました。 前回の2分割スタートと今回の3分割スタートの計算値…

数の風景-30

円周角 三平方の定理を見てきたので今度は円周角について見ていきましょう。 図で下辺ABが同じなら、点Cが円周上のどこにあってもその角度θの大きさは 変わらないというのが円周角の特性ですね。今度はこれを確かめてみましょう。 またθの求め方にも挑戦…

数の風景-29

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 前回のπの計算には三平方の定理を使っていますが、この定理はつぎのように 表されています。 この定理について証明をしてみます。 まず直角の2つの隣辺と斜辺をそれぞれ2乗して三角形の外側に3つの正方形 を作ります。…

数の風景-28

πの計算(1) 前回eを見たので今度はπを計算してみましょう。πは半円と半径の長さの比、 つまり π=(半円の長さ)/(半径) なのでそれを計算してみます。 下図の半径1の半円の長さはπですが、それを2分割して両端が円周と交わる 直線を引き、その2つの直…

数の風景-27

自然対数の底 e について 前(数の風景-18)に指数関数、対数関数というものに触れましたが、そこで 唐突に e というものが出てきました。 この eのx乗 という関数は微分しても積分してもその形は変わらないという 特別な性質がありますが、この性質…

数の風景-26

微積分が途切れる? ここで、 Y=log X という対数関数を考えてみます。この関数をXによって微分 すると Y=1/X という式になります。 この式はXの-1乗ですが、これ以降、上の微積分の関係式を用いてXの-の 累乗の世界の微分をどこまでもやって…

数の風景-25

0,1,∞(無限大) 再び 数の風景-22で 0,1,∞について見てきましたが、そこで見逃してきた つぎのような関係について考えてみます。 0×∞ 0/∞ ∞/∞ まず 0×∞ について 0は 0 = lim 1/n (n:自然数) ∞は ∞= lim 1/X n→∞ x→0 …

数の風景-24

積分 前回とは逆に Y=X について積分を行えば、直線 Y=X とx軸(0からxまで) とが作る三角形の面積になります。 このようにして積分によってできた関数をXで微分すると元の関数 (ここではY=X )に戻ります。 一般にXの0次以上の関数Yの微…

数の風景-23

微分 微分はXの微小な変化にともなって関数Yの値がどのように変化していくかを 見るものですから、X-Y平面上でXの各点における関数Yの傾きの値を関数化 する作業になり、積分はその逆つまりX-Y平面上でX=0からXまでの関数Yの 累積値を関数化…

数の風景-22

0,1,∞(無限大) 0,1,∞ は いろいろな関数の計算にとって重要なものであり、つぎの ようなものではないかと考えていますが、これでいいのでしょうか。 0は分数の分母を無限に大きくしていくことで実現 0 = lim 1/n (n:自然数) n→∞ 0 …

数の風景-21

(X+1)の累乗 Xの一次式(X+1)を複数回掛けたらどういう式になるのでしょうか。数の少ない 方から少しずつ計算していきます。 各項の係数値はちょうど真ん中辺りが最も大きいことがわかります。(X+1)の n乗のときの係数値はつぎのように知ら…

数の風景-20

組み合わせ数 ナンバープレート ここでナンバープレートの組み合わせ数について考えてみます。 0から9までの10個の数字を使って4桁の番号札を作るとしたら 0000 から 9999 まで 10000個の札ができます。 この番号の組み合わせは各桁10個…

数の風景-19

関数 その(4) 三角関数 図のような直角三角形があり、1つの角度がΘのとき、つぎのように三角 関数として表されます。 sinΘ=隣辺2/斜辺 cosΘ=隣辺1/斜辺 ここで X=cosΘ Y=sinΘ として、Xを横軸に、Yを縦軸にして角度Θ の変化に伴…

数の風景-18

関数 その(3) 指数関数 指数関数は通常、自然対数の底eの指数を変数xとして、つぎのように 表されています。 指数関数eのx乗は、微分や積分をしてもその関数の形が全く変わらず、eの x乗のままであるという特別なものですね。 その特別な数 e の値…

数の風景-17

関数 その(2) 文字式の計算 計算は原則()の中を先に計算しますが、つぎのように展開して計算する こともできますね。 (a+b)+(c+d)=a+b+c+d (a-b)-(c-d)=a-b-c+d (a+b)×(c+d)=a×(c+d)+b×(c+…

数の風景-16 

関数 その(1) 前回、果物の数を管理するのにリンゴをA、ミカンをO、ナシをPとして、3つの ダンボールで管理する例を考えました。 ここでA,O,Pを単に数だけでなく、仕入費合計Tc、売上合計Tsとして管理する ことを考えます。 仕入費については…

数の風景-15

文字数、文字式 文字は数字ではありませんから文字そのもので計算できるわけではなくて、 これはたとえば果物を入れるダンボール箱みたいなものですね。そのダン ボール箱には文字が書いてあり、リンゴと書いてあればリンゴしか入れること ができません。リ…

数の風景-14

黄金比 その(3) 黄金比は自然界にもいろいろなところに隠されているとか。そこで自分も まわりの自然を探してみていくつかそれらしいものを見つけました。その 1例として海辺に生えている植物(下の写真)の成長のパターンを数値化 して調査してみました…