各虚数の整理と表示（１）
前々回、Ｘの3次方程式の解 ａ，ｂ，ｃ の値を求めましたが、その３つ
の組合せを図で表すことはできないか検討してみます。そのためには
多くの虚数を整理して、表示だけでなく計算もできるだけ簡素化する
必要があります。
そこで多くの種類の虚数をオイラーの公式を使って整理できないか
検討してみました。
これ以降、実数部の表示記号として R を用います。
オイラーの公式のR-ｉ座標表示はつぎのようになります。
虚数 ｊ は ｊ×ｊ＝ｉ の関係にあるので、ｊ は ｉ までの角度π／２の１／２
のπ／４となり、その位置は円周上で １ と ｉ の中間点になります。
そして－ｊ は ｊ から原点を挿んで反対側の位置になります。この関係を
つぎに図示します。
上の要領で虚数ｋについてもR-ｉ座標上に位置取りすることができます。
高次方程式を解く（２）
今度はつぎのようなＸの４次方程式について見ていきます。
これが解 ａ，ｂ，ｃ，ｄ を持つとするとき、前回と同様の方法で展開式
を求め、その展開式は上の４次方程式に一致しなければなりません。
それには、各次数のＸの係数値および定数値と、展開式の係数とが
一致しなければならないので、つぎの４元連立方程式が導かれます。
これを解いて、解 ａ，ｂ，ｃ，ｄ の値を求めます。まず、ｃ，ｄ を ａ，ｂ で
表すことから始めます。
ｃ，ｄ を ａ，ｂ で表すことまではできました。 つぎに ｂ の値を ａ で表し、
そしてすべての変数を ａ で表す必要があります。その後、ａ 値を算出
すれば、ｂ，ｃ，ｄ も求められるはずです。ところが ｂ を ａ で表す作業
以降が大変難しく、私は解くことができませんでした。
高次方程式を解く（１）
このような虚数たちを気味悪がっているだけでは面白くありません。
そこでこれをうまく利用して高次方程式を解くことができないだろうかと
考え、まず３次方程式に取り組むことにしました。
つぎのようなＸの３次方程式の解はどうなるでしょうか。
これが解 ａ，ｂ，ｃ を持つとするとき、上の式は下のようにも表され、
その展開式は上の３次方程式に一致しなければなりません。それに
は各次数のＸの係数および定数値が上の方程式の各係数（ここでは
すべて１）に等しくなる必要があります。こうして３元連立方程式が導か
れます。
これを解いて、解 ａ，ｂ，ｃ の値を求めます。そうするとその解は、
つぎのように、解 ａ，ｂ，ｃ の３つの組合せがあることが分かりました。
解の中には ｉ よりも下位の虚数 ｉｊ や ｊ も含まれています。
ここでは省略しますが、これが間違いないかどうかは、それぞれの
ａ，ｂ，ｃの組について、（Ｘ－ａ）（Ｘ－ｂ）（Ｘ－ｃ）＝０ の展開式が、
最初の３次方程式に一致するかどうかで確かめることができます。
数の風景－７９
各虚数間の計算方法
ここまで見てきた中で、１の累乗根連続４回で８種類の数が現れ、その
うち７種類が虚数です。それぞれに＋と－があるので、合計１６種類に
別れ、そのうち１４種類が虚数です。
ここで、これら１６種類の数の間での計算方法を整理します。
まず四則演算をしてみます。加減算は文字の加減算と同じように、同じ
虚数どうしで加減算をします。
［計算例１］ 加減算
１＋ｉ＋２ｊ＋ｋ－３ｊ＋５ｊｋ＋ｉｋ－２ｉｊ＋４ｉ－２＋ｉｊｋ
－３ｉｋ－２ｊｋ
＝－１＋５ｉ－ｊ－２ｉｊ＋ｋ－２ｉｋ＋３ｊｋ＋ｉｊｋ
乗除算も基本的には文字式の計算と同じです。先に乗算どうしを計算
し、つぎに除算を計算するほうが簡単な気がします。
［計算例２］ 乗除算
ｉ×２ｊ×ｋ÷３ｊ×５ｊｋ×ｉｋ÷２ｉｊ×４ｉ×ｉｊｋ÷３ｉｋ÷２ｊｋ
＝２ｉｊｋ×５ｉｊｋｋ×４ｉｉｊｋ÷３ｊ÷２ｉｊ÷３ｉｋ÷２ｊｋ
＝（２×５×４）／（９×４）×（ｉｊｋ×ｉｊｋｋ×ｉｉｊｋ）／
（ｉｊｊ×ｉｊｋｋ）
＝（１０／９）ｉｉｋｋ
＝－（１０／９）ｊ
つぎに 加減算と乗除算とを混合した式を計算してみます。計算順序
は文字式の計算と同じく先に乗除算を行い、そのあと加減算を行い
ます。
［計算例３］ 加減算，乗除算混合
ｉ×２ｊ＋ｋ÷３ｊ×５ｊｋ＋ｉｋ÷２ｉｊ×４ｉ－ｉｊｋ×３ｉｋ÷２ｊｋ
＝２ｉｊ＋５ｉ÷３ｊ－４ｋ÷２ｉｊ＋３ｉ÷２ｊｋ
＝２ｉｊ＋（５／３）ｊ＋２ｊｋ＋（３／２）ｋ
（注）－４ｋ÷２ｉｊ の計算は －４ｋ＝４ｉｉｋ＝４ｉｊｊｋ として
２ｉｊで割る
３ｉ÷２ｊｋ の計算は ３ｉ＝３ｊｋｋ として２ｊｋで割る
組み合わせ虚数記号の付いた数の平方根をとる場合は、それぞれの
記号について虚数記号を付けることになります。
たとえば －４ｉｊ という虚数があったとき、その平方根は ４が２と－２、
－がｉ、ｉがｊ、ｊがｋ になるので、２ｉｊｋ と－２ｉｊｋ になります。
多種類の虚数（３）
前々回、前回と 平方根や共役複素数をとり続けていくことにより、多く
の虚数が現れてくる様子を見てきましたが、ここでは ｉ 以下のいろいろ
な虚数について、それを累乗していくことでどのように変化していくかを
見てみます。
それぞれの虚数は累乗していくことにより、別の数世界へ変位していく
ようです。その変位の様子について、正の整数１以下の各種類について
まとめてみました。ここには １，－１， ｉ の下位に ｊ や ｋ を加えてみま
した。
初期値が虚数 ｉ の場合、２乗で－１、３乗で－ｉ、４乗で１になります。
そこを四角の枠で囲んでいます。そして５乗目からまた ｉ からスタート
します。つぎに虚数 ｊ を見てみると、８乗で１にたどり着き、その次から
また１巡していきます。虚数 ｋ では、１６乗で１にたどり着きます。
これらの動きは私の考えでは理にかなったもので、－は１を（１／２）乗
したときに現れてくるもので、ｉ は１を（１／４）乗したときに、ｊ は１を
（１／８）乗したときに、ｋ は１を（１／１６）乗したときにそれぞれ現れ
てきます。１はその逆で、－を２乗したときに、ｉ を４乗したときに、ｊ を
８乗したときに、ｋを１６乗したときにそれぞれ現れてきます。
多種類の虚数（２）
前回、平方根をとり続けていくことにより、多くの虚数が現れてくる様子
を見てきましたが、共役複素数をとることによっても多くの虚数記号が
発生します。
共役複素数の関係式を用いて、つぎのように上位の虚数を下位の虚数
の積に分解することができます。
この関係から、マイナスの数は実数に分類されていますが、符号“－”は
虚数群の筆頭に位置する存在でもあることがわかります。
また、この関係を用いて１をつぎのようにも表すことができます。
この関係から、２をつぎのように共役複素数に分解することもできます。
１の場合は上の関係式に各段階で２の－（１／２）乗が掛かってくるので、
つぎのようになります。
