Γ関数について（３）
最後に指数関数を大顎で鋏んでみます。
前々回求めた「ｆ（ｘ）を鋏んだ場合の解」を使って再度計算してみます。
指数関数はさすがに頑丈で、大顎でも噛み砕くことはできませんでした。
数の風景－７２
Γ関数について（２）
前回、Γ関数の「大顎」の強力な分解力を見てきました。ここで試しに
いくつかの関数を鋏んで計算してみます。
まず２次関数から
つぎに３次関数を鋏んでみます。
この大顎の威力の源は何でしょうか。それはその構造を見れば分かり
ます。
積分記号は、対象とする関数ｆ（ｔ）を０ から ∞ までの範囲で積分する
ことを宣言しています。対象とする関数ｆ（ｔ）にはｅの－t乗が掛けられて
おり、「『対象とする関数ｆ（ｔ）はｅのｔ乗の何倍か』を表す ｔ の関数」に
変えられています。それを実数 ｔ ≧０の全範囲にわたって積分している
わけです。
Γ関数の大顎はものすごく強力な関数分解装置で、まるで ｅのｔ乗 と
いうまな板の上で、積分記号∫の包丁を使って素材である 関数ｆ（ｔ） を
切り捌いていっているかのようです。
数の風景－７１
Γ関数について（１）
ここでこれまでに出てきていないいくつかの関数についてみていきます。
Γ（ガンマ）関数はつぎのように表されています。
この関数は独特な性質を持っていて、Γ（ｚ＋１）＝ｚΓ（ｚ）という関係が
あります。そこで複素数ｚを自然数ｎに置き換えれば、Γ（ｎ＋１）はつぎ
のように表されます。
Γ（ｎ＋１）＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）・・・３・２・１＝ｎ！
この関数は単に階乗を作る作用だけではなく、もっと深く広い意味を
持っているのではないかと思い、私なりに調べてみました。
まず目に入ったのはこの関数の形です。まるで肉食動物が大顎で獲物
を捕らえて噛み砕こうとしている姿に見えます。
獲物は関数 ｔの（ｚ－１）乗、大顎はその関数を鋏んでいる積分記号と
ｅのｰt乗以降ｄｔまでの部分です。
以下はΓ関数というよりその拡張形というべきものですが、大顎につか
まる関数をｔの（ｚ－１）乗ではなく、もっと一般化して関数ｆ（ｔ）としたら
どうなるか調べてみました。
Γ関数の大顎に鋏まれた関数ｆ（ｔ）は微積分によって細かく分解され、
変数の部分には ∞と０ が入ってぼろぼろになってしまいます。
数の風景－７０
数Ｘの構造解析 その（２）
数の風景－４８で、ｌｏｇの構造について見てきましたが、このｌｏｇの式
からも数Ｘの計算式を見出すことができます。
前回同様、いくつかのＸ値について、ｎの値が100、1000、10000の場合
についてこの式を計算し、この式から得られた数値とＸ値との差を調べ
てみました。
この場合は、上の結果から分かるように、Ｘの値が１に近いほど計算値
とＸ値との誤差は小さく、またｎ値が大きいほどその誤差は小さくなって
いきます。
式の構造をよく見てみると、Ｘ値が１に近づくことは、ｅの指数値が０に
近づくことでもあります。その意味では前回同様 ｅ の０乗付近でのＸの
近似計算のときが最も精度よく計算できるという結果となります。
これは私見ですが、実数は（オイラーの公式によれば虚数も）宇宙の
摂理に矛盾しないよう ｅ の指数として存在しており、われわれは直交
座標系を用いて計算をしているけれども、それは ｅ の０乗付近を大き
く拡大した世界なのではないでしょうか。
数の風景－６９
数Ｘの構造解析 その（１）
数の風景－２７ で見てきた自然対数の底 ｅ の式から数Ｘの計算式
が導かれます。
いくつかのＸ値について、ｎの値が100、1000、10000の場合について
この式を計算し、この式から得られた数値とＸ値との差を調べてみま
した。
このような一見わけの分からない計算は何を見ようとするものでしょ
うか。
実数Ｘをｅ の指数の位置に置いて計算した場合、Ｘ値とその分割数ｎ
によって計算結果にどのような誤差が発生するかを見るものです。
計算結果は、Ｘ値が０に近いときｅ の０乗付近での近似計算となり
ますが、このときが最も誤差は小さくなりました。またｎ値が大きい
ほど誤差は小さくなります。
数の風景－６８
結局、なぞだらけの素数
いささか素数に食傷ぎみになってきました。 最後にＸ値を実数領域
まで拡張して考えてみます。 Ｘがｅのｎ乗のとき、Ｘ以下の素数個数
比率はつぎのようにすっきりした分数形 １／（ｎ－１） になります。
以上の関係からも、素数の発生確率が自然対数の底ｅと密接に関
わっているのは疑いようがありません。
ところで、ここまでは Ｘ≧（ｅの２乗） の範囲で計算しています。では
０＜Ｘ＜（ｅの２乗） の範囲ではどうなるでしょうか。
ｅの0.1乗からｅの２乗まで0.1乗刻みでＸ値を変化させていき、素数個数
比率を計算しました。
計算結果は Ｘ＝（ｅの２乗） のとき １、Ｘがそれより小さくなるにしたが
って 徐々に大きくなっていき、Ｘ＝ｅ のとき ＋∞に発散し、Ｘがｅ より
小さくなった瞬間に－∞から出発して 最初は急速に、そしてしだいに
ゆっくりと上昇していき、 Ｘ＝（ｅの０乗）つまりＸ＝１ で－１を通過し、
Ｘ＜１に入ってさらにゆっくりと上昇していきます。
Ｘ＝ｅ のとき素数個数比率が±∞に発散してしまうのは 数式からの
帰結と言ってしまえばそれまでですが、この一連の変化をどう解釈
すればいいでしょうか。そもそも素数個数比率が１を超えるとは、どう
いうことでしょうか。 なぞは深まるばかりです。
素数個数比率の曲線は双曲線関数（ｙ＝１／ｘ）に類似している点が
見えるので、つぎにまとめてみました。ここに何らかの意味をつかむ
ヒントが隠れているかもしれません。
