πの計算（２）
数の風景－２８ πの計算（１） の続編として今度はπの３分割からスタートして
同様の方法でπ値を計算してみました。途中は省略しますが、ｎ回分割後の計算
式はつぎのようになりました。
前回の２分割スタートと今回の３分割スタートの計算値を同じ分割回数で比較して
みます。
πの計算はｅの場合に比べて収束性が良く、いずれもｎ＝１０で小数点以下５桁
まで真値に一致しました。３分割スタートの方が少し精度が良いようにも見えますが
大差はないようです。
数の風景－２８
πの計算（１）
前回ｅを見たので今度はπを計算してみましょう。πは半円と半径の長さの比、
つまり π＝(半円の長さ)／(半径) なのでそれを計算してみます。
下図の半径１の半円の長さはπですが、それを２分割して両端が円周と交わる
直線を引き、その２つの直線の長さを合計します。つぎにそれぞれの角度を２分
割して同じように直線を引き、その直線の長さを計算し、４本の長さの合計を
計算します。同じ要領でどんどん角度を２分割して１本の直線の長さを短くして
いき、円周に近づけながら合計の長さを計算していきます。 そしてｎ回分割後
の計算式が求められます。
分割回数ｎが小さい場合は、πの真値からずれた値が出てきますが、ｎ値が大
きくなるにつれて真値に近づいていきます。
数の風景－２５
０，１，∞（無限大） 再び
数の風景－２２で ０，１，∞について見てきましたが、そこで見逃してきた
つぎのような関係について考えてみます。
０×∞ ０／∞ ∞／∞
まず ０×∞ について
０は ０ ＝ ｌｉｍ １／ｎ （ｎ：自然数） ∞は ∞＝ ｌｉｍ １／Ｘ
n→∞ x→0
Ｘ→０は Ｘ ＝ ｌｉｍ １／ｎ と表されるから
n→∞
∞は ∞＝１／（ｌｉｍ １／ｎ）
n→∞
したがって、０×∞ は
０×∞ ＝ ｌｉｍ １／ｎ × １／（ｌｉｍ １／ｎ）
n→∞ n→∞
＝ ｌｉｍ ｎ／ｎ
n→∞
＝ １ ・・・ （１）
０／∞ について
０／∞ ＝ ｌｉｍ １／ｎ ／（１／（ｌｉｍ １／ｎ））
n→∞ n→∞
＝ ｌｉｍ １／（ｎ×ｎ）
n→∞
＝ ０ ・・・ （２）
∞／∞ について
∞／∞ ＝ １／（ｌｉｍ １／ｎ） ／（１／（ｌｉｍ １／ｎ））
n→∞ n→∞
＝ ｌｉｍ ｎ／ｎ
n→∞
＝ １ ・・・ （３）
ここまではこれでいいのでしょうか。
じつはここで矛盾した結果が現れます。０×∞ について再度計算してみます。
（２）式から ０＝０／∞でもあるので ０×∞ は （０／∞）×∞ とも表され
ます。 したがって
０×∞ ＝ （０／∞）×∞
＝ ０×∞／∞ （３）式より ∞／∞ ＝ １ だから
＝ ０×１
＝ ０
となり、これは（１）式と矛盾します。
結局、０，１，∞は計算の結果を出すときに最後に一度だけどちらに収束する
かを判定することができるもので、計算の途中で四則演算をすることは原則
できないのではないでしょうか。 これは数学の世界では常識なのかもしれ
ませんが。
