数の風景－２７

 　自然対数の底　ｅ　について
　前（数の風景－１８）に指数関数、対数関数というものに触れましたが、そこで
　唐突に　ｅ　というものが出てきました。　
　この　ｅのｘ乗　という関数は微分しても積分してもその形は変わらないという
　特別な性質がありますが、この性質からつぎのような「ｅの構造式」が導かれ
　ます。

　いくつかのｎの値についてｅを計算してみます。

　ｎ＝１,０００,０００　で小数点以下５桁まで真値に一致しました。ずいぶんゆっくり
　と近づいていくものですね。

数の風景－２６

　微積分が途切れる？

　ここで、　Ｙ＝log Ｘ　という対数関数を考えてみます。この関数をＸによって微分
　すると　Ｙ＝１／Ｘ　という式になります。

　　

　この式はＸの－１乗ですが、これ以降、上の微積分の関係式を用いてＸの－の
　累乗の世界の微分をどこまでもやっていくことができます。

 　

　ただどうしても気にくわないのはＸの０乗で微積分の連鎖が一旦途切れてしまう
　ことです。これはなんとかできないものでしょうか。

数の風景－２５

 　０，１，∞（無限大）　再び

　数の風景－２２で　０，１，∞について見てきましたが、そこで見逃してきた
　つぎのような関係について考えてみます。
　　０×∞　　０／∞　　∞／∞　　

　まず　０×∞　について
　０は　　０ ＝ ｌｉｍ １／ｎ　　（ｎ：自然数）　　　∞は　∞＝ ｌｉｍ　１／Ｘ
　　　　　　　n→∞　　　　　　　　　　　　　　　　x→0
　Ｘ→０は　Ｘ ＝ ｌｉｍ １／ｎ　と表されるから
　　　　　　　n→∞
　∞は　∞＝１／（ｌｉｍ １／ｎ）
　　　　　　　n→∞
　したがって、０×∞　は
　　０×∞ ＝ ｌｉｍ １／ｎ　×　１／（ｌｉｍ １／ｎ）
　　　　　 n→∞　　　　　　n→∞
　　　　　 　＝ ｌｉｍ ｎ／ｎ
　　　　　　　 n→∞　
　　　　　 　＝　１　　　　　・・・　（１）

　０／∞　について
　　０／∞ ＝ ｌｉｍ １／ｎ　／（１／（ｌｉｍ １／ｎ））
　　　　　　n→∞　　　　　　n→∞
　　　　　　 ＝ ｌｉｍ １／（ｎ×ｎ）
　　　　　　　 n→∞　　　
　　　　　　 ＝ ０　　　　　　・・・　（２）

　∞／∞　について
　　∞／∞ ＝ １／（ｌｉｍ １／ｎ）　／（１／（ｌｉｍ １／ｎ））
　　　　　　　　n→∞　　　　　　　n→∞
　　　　　　 ＝ ｌｉｍ ｎ／ｎ
　　　　　　　n→∞　
　　　　　　＝　１　　　　　　・・・　（３）

　ここまではこれでいいのでしょうか。

　じつはここで矛盾した結果が現れます。０×∞　について再度計算してみます。
　（２）式から　０＝０／∞でもあるので　０×∞　は　（０／∞）×∞　とも表され
　ます。　したがって
　０×∞　＝　（０／∞）×∞　
　　　　　　＝　０×∞／∞　　　（３）式より　∞／∞　＝　１　だから
　　　　　　＝　０×１
　　　　　　＝　０　　
　となり、これは（１）式と矛盾します。

　結局、０，１，∞は計算の結果を出すときに最後に一度だけどちらに収束する
　かを判定することができるもので、計算の途中で四則演算をすることは原則
　できないのではないでしょうか。　これは数学の世界では常識なのかもしれ
　ませんが。

数の風景－２４

　積分

　前回とは逆に Ｙ＝Ｘ について積分を行えば、直線 Ｙ＝Ｘ とｘ軸（０からｘまで）

　とが作る三角形の面積になります。

　このようにして積分によってできた関数をＸで微分すると元の関数

（ここではＹ＝Ｘ ）に戻ります。

　一般にＸの０次以上の関数Ｙの微分・積分の関係はつぎのようになっていますね。

数の風景－２３

　微分

　微分はＸの微小な変化にともなって関数Ｙの値がどのように変化していくかを
　見るものですから、Ｘ－Ｙ平面上でＸの各点における関数Ｙの傾きの値を関数化
　する作業になり、積分はその逆つまりＸ－Ｙ平面上でＸ＝０からＸまでの関数Ｙの
　累積値を関数化する作業になります。
　ここに　Ｙ＝Ｘ　という関数があるとします。　これはＸが１増加すればＹも１増加
　するという関係を表しています。
　この関数についてＸによる微分を行えば　Ｙ＝１　という関数になります。

　この式には変数Ｘがなくなっています。ということはこれ以上この関数をＸで微分
　することはできないことになります。しかしこれでおしまいと言われても私はなん
　だか釈然としません。

数の風景－２２

　０，１，∞（無限大）

　０，１，∞　は　いろいろな関数の計算にとって重要なものであり、つぎの
　ようなものではないかと考えていますが、これでいいのでしょうか。

　　０は分数の分母を無限に大きくしていくことで実現
　　　　　０ ＝ ｌｉｍ １／ｎ　　　　　　　　　（ｎ：自然数）
　　　　　　　 ｎ→∞
　　　　　０ ＝ ｌｉｍ （１／ａ） のｎ乗　　　（｜ａ｜＞１）
　　　　　　　 ｎ→∞
　　１は基本的に分数の分子と分母が等しい状態
　　　　　１＝ Ｘ／Ｘ　　　　　　　　　　　　（Ｘ：全ての数）
　　　　　１＝ ｌｉｍ ａ　の（１／ｎ）乗　　　（ａ：０以外の実数）
　　　　　　　ｎ→∞
　　∞は分数の分母を無限に小さくしていくことで実現
　　　　　∞＝ ｌｉｍ　１／Ｘ
　　　　　　　 Ｘ→０
　　　　　単に０の逆数（→　１／０ ）と考えることも可

数の風景－２１

　（Ｘ＋１）の累乗

　Ｘの一次式（Ｘ＋１）を複数回掛けたらどういう式になるのでしょうか。数の少ない
　方から少しずつ計算していきます。

　各項の係数値はちょうど真ん中辺りが最も大きいことがわかります。（Ｘ＋１）の
　ｎ乗のときの係数値はつぎのように知られていますね。

　ｎＣｋは前回も触れましたが、異なるｎ個の中からｋ個を取り出して１セットの組み
　合わせを作るとき、異なる組み合わせは最大何セット作れるかという計算を表す
　表記で、「異なるｎ個からｋ個を取り出す組み合わせ数」ということになります。

　実はこの辺りから先は私のよく知らない世界なので勝手に迷い込んでいきます。
　私自身理解不足の部分も沢山あるので、クイズも回答も出せません。逆にもし
　間違ったところがあれば教えて頂きたいです。
　それでも自分の迷い込んでいる怪しげな小道もノートに収まっているだけでは
　窮屈だろうということで、ブログに開放してみようと思います。