数の風景－１０

　虚数
　
　ここまでの数はすべて実数のグループに入りますが、ここでさらに虚数という
　ものが出現します。これは２乗したら－になる数です。その数の素ともいうべき
　ものは通常　ｉ　で表されます。　この　ｉ　は　　ｉ　×　ｉ　＝　－１　
　という性質を持っているとされており、通常　実数の前か後ろにくっつけて表示

　します。するとその数は、２乗したら負の実数になります。
　この虚数の世界は実数にこの　ｉ　をくっつけることにより、実数と同じ規模の
　虚数の世界を作り出すことができます。

　だがここで私ははたと考え込んでしまいました。２乗したら－になる数の世界が
　あるのなら２乗したら　ｉ　になる数の世界もあるのではないか。　もしそれを
　ｊ　としたら、　ｊ　×　ｊ　＝　ｉ　となります。するとまた２乗したら　ｊ　

　になる数の世界もあるのではないかということになり、際限なく数の世界が広が

　っているような気がしてきます。このような無間地獄から逃れる道はあるので

　しょうか。

　前回の答え

　　答えは　「できる」　です。　１例だけ挙げておきます。
　　
　　２の１／２乗　×　２の１／３乗　×　２の１／６乗　＝　２
　　１．４１４２１・・・×１．２５９９２・・・×１．１２２４６・・・＝２

　　これは指数の計算で簡単に説明できます。
　　掛け算は指数どうしの足し算になるので
　　１／２＋１／３＋１／６＝１　となり、答えは
　　２の１乗で２となります。

数の風景－９

無理数　

　これまでの数全体を有理数といわれていますが、ここで無理数というものも
　出現します。これはたとえば指数の値が分数で表されるような数字に混じって
　います。
　例として１から１０までの１／２乗の値について見てみましょう。これは平方根
　と呼ばれていますね。

　　１　の１／２乗　　　１
　　２　の１／２乗　　　１．４１４２１・・・
　　３　の１／２乗　　　１．７３２０５・・・
　　４　の１／２乗　　　２
　　５　の１／２乗　　　２．２３６０６・・・　
　　６　の１／２乗　　　２．４４９４９・・・　
　　７　の１／２乗　　　２．６４５７５・・・
　　８　の１／２乗　　　２．８２８４３・・・
　　９　の１／２乗　　　３
　 １０　の１／２乗　　　３．１６２２８・・・

　この例では無理数が７個現れました。無理数の場合は小数点以下の数の並び
　に規則性が見られません。そしてそのような数の並びは無限に続くようです。
　なんだか気が遠くなるような話です。

　ここで問題です

　　いくつかの異なる無理数を使って有理数をつくることはできるでしょうか。

　　　答えは次回ブログで

数の風景－８

－（マイナス）の数

　つぎに－（マイナス）記号について考えてみます。

　整数の前に－をつけると負の整数になります。これは目ではなかなか見え
　ませんがどこかを基準値０にしてそれからの差をみるときに現れます。
　長さや重さなど測定できるものはなんでも、同じものを合計してそれを足し
　合わせた個数で割れば平均値を出すことができます。たとえば１００個の
　リンゴの平均重量が２３０グラムだったとします。ちょっと大ぶりのものが２５０
　グラムあったとしたら平均値＋２０グラムとなり、小ぶりのものが２００グラム
　だったとしたら平均値－３０グラムとなりますね。統計学はこの計算からどん
　どん発展していったといっても過言ではないでしょう。

　＋の指数を持つ数が分数の分子にあるとき、この指数の前に－をつけると、
　＋の指数を持つ数が分母に移るのと同じ効果になります。つまり、分子に
　ある＋の指数を持つ数は掛け算をする場合に相手の数に直接掛けることが
　できますが、－の指数を持つ数は相手の数が分数でない場合は－が消えて
　相手の分母になる、相手が分数の場合は－が消えて相手の分母に掛ける
　ことになります。
　まとめれば、－の記号を付け加えることにより＋の数世界にそれと匹敵する
　規模の－の数世界が加わり、数の世界が拡張します。そして－の計算ルール
　さえ守っていれば、それ以外は－の数世界も＋の数世界と全く同じように
　扱うことができます。　数の世界はどんどん広がっていきます。

前回の答え

　　答えは　両方とも「できる」　です。　１例ずつ挙げておきます。
　　
　　素数でない数で素数をつくる
　　　　１２　÷　４　＝　３　
　　素数だけで別の素数をつくる
　　　　　７　－　５　＝　２

数の風景－７

　素数
　素数は１，２，３，４，・・・と続く自然数の中で１とその数自身でしか割り切れ
　ない数です。
　２０までの数でそれに該当する数は１を除けば２，３，５，７，１１，１３，１７，

　１９の８個あります。数が増えるにつれて現れる素数の数は少しずつ少なくなって
　いくようですが、どれだけ大きくなっても発生しなくなることはないそうですね。
　この素数の現れる確率を表す素数定理というものがあり、それに関連する研究は今

　も続けられているようです。
　リーマン予想の証明という難問もこの素数に関係したものだそうで、面白そうだけど
　専門的過ぎて私は付いていけません。ただ　あとで何らかの機会に素数定理に触れる

　かもしれません。

　それにしても素数というものをどう理解したらいいんでしょうか。私は「１を除く
　素数の網かごが、それぞれの素数からスタートしてその素数の長さごとに編み
　こまれていく網紐でつくられており、大きく編み進めていくほどに１本の網紐も
　通さない穴が現れる。そこからまた新しい網紐をスタートさせてさらに編み進め
　ていく。しかしどれだけ網紐数を増やしても世界を１つの穴もなく包み込むこと
　はできない。」というようなイメージをもっています。

　ここで問題です

　つぎの条件で、素数でない数で素数をつくることかできますか。逆に素数
　だけで別の素数をつくることはできるでしょうか。
　条件：　計算式には１は使わないこと、そして＋－×÷まで使っていいこと
　　　　　にします。

　　　答えは次回ブログで

数の風景－６

乗数　（または指数）　　その（２）

　乗数（指数）の世界でもうひとつ特徴的なことは、指数の値が－であっても
　実数値は０より大きいことです。指数値とそれを計算した実数値との関係は
　つぎのようにまとめられます。
　Ａが１より大きいという条件でＡの指数ｘがつぎのような場合
　　ｘが＋の値のとき　・・・　実数値は１より大きい
　　ｘが０のとき　　　・・・　　実数値は１
　　ｘが－の値のとき　・・・　実数値は１より小さく０より大きい
　となります。

　例　＋の指数　　　　　　　０　　　　　　　　－の指数
　　５の２乗＝２５　　５の０乗＝１　　５の－２乗＝１／２５＝０．０４

　このように指数というものを使って、乗除算を指数の加減算に変換すること

　や、０乗が１をつくったり、－の指数が１以上の全ての実数を０から１の間に

　閉じ込めることができるのはすごいことですね。　この指数とその計算法の

　発明（発見というべき？）はすばらしい。

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ユキヤナギ

　前回の答え

　　３年後の前者の耕作面積　１．２の３乗＝１．７２８　　元の１．７２８倍

　　　　収量　（１．２×（１＋０．１））の３乗＝１．３２の３乗＝２．２９９９
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　元の約２．３倍
　　３年後の後者の耕作面積　１．５の３乗＝３．３７５　　元の３．３７５倍
　　　　収量　（１．５×（１－０．１））の３乗＝１．３５の３乗＝２．４６
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　元の約２．４６倍
　前者は耕作面積が後者の約半分なのに、収量はほぼ同じくらいまで伸びています。
　　　　　

数の風景－５

　乗数　（または指数）　　その（１）

　たとえば　２×２×２　は２を３回掛け合わせています。これは２の３乗で８
　ですね。

　２の５乗は３２ですが、これに２の３乗（＝８）を掛ければ２５６ですね。また
　２の５乗を２の３乗で割れば４になります。
　これは指数の加減算で表すことができます。つまり掛け算では指数どうし
　を足し算し、割り算では割られる数の指数から割る数の指数を引き算します。
　何を言いたいかといえば、指数を使うことによって、掛け算は指数の足し算に、
　割り算は指数の引き算になるところが何ともスマートだなと思うのです。

　　

　ここで問題です

　　農業で、ある作物の生産を増やしています。元の耕作面積を１として
　　３年連続で前年の２割増しで拡大しました。同時に土壌改良も進め
　　こちらも３年連続で単位面積あたり１割増の収量になりました。一方、
　　土壌改良なしで３年連続で耕作面積を５割増しで拡大すると３年連続
　　で単位面積あたり１割減になるとします。３年後は前者と後者で耕作
　　面積と収量はどのようになっているでしょうか。指数計算をうまく利用
　　して計算してください。

　　　答えは次回ブログで

数の風景－４

　小数（循環する小数）

　小数は１より小さい数を表す数字です。前回の分数でも１より小さい
　数を表すことができます。そこで分数と小数を並べて見てみます。
　　　１／１　　　　　１
　　　１／２　　　　　０．５
　　　１／３　　　　　０．３３３３３３３３３３３３３３３３３３・・・
　　　１／４　　　　　０．２５
　　　１／５　　　　　０．２
　　　１／６　　　　　０．１６６６６６６６６６６６６６６６６６・・・
　　　１／７　　　　　０．１４２８５７１４２８５７１４２８５７・・・
　　　１／８　　　　　０．１２５
　　　１／９　　　　　０．１１１１１１１１１１１１１１１１１１・・・
　　　１／１０　　　　０．１

　　結果は分数はすっきりしているのに、小数は小数点以下が無限に続くもの
　があり歯切れが悪いですね。よく見るとその数字はどれも同じ数の繰り返しか
　同じ並びの繰り返しになっています。

　　前回の答え

　まず３人が各々３個ずつ取ります。すると９個なくなるから２個残ります。
　そこでハズレ１本を混ぜた３本のクジ引きをします。ハズレの人は残念ながら
　あと１個を受け取れません。
　これがどうして公平なのかは説明するまでもなく、３人ともハズレの可能性
　（「確率」とも言います）が１／３で公平だからです。
　なんだこれはみんなやっていることじゃないか、と怒らないでください。
　「過不足は公平なくじ引きで解決される」という平凡な真理は世の中に
　不可欠なものになっていますね。